并运算

设 A 是带有偏序 ${\displaystyle \leq }$  的一个集合，并设 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  是 A 中的两个元素。A 中的一个元素 ${\displaystyle z}$  是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的并（或最小上界或上确界），如果满足下列两个条件:

1. ${\displaystyle x\leq z}$  且 ${\displaystyle y\leq z}$  （就是说，${\displaystyle z}$  是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的一个上界）

2. 对于 A 中任何 ${\displaystyle w}$ ，使得 ${\displaystyle x\leq w}$  且 ${\displaystyle y\leq w}$ ，有着 ${\displaystyle z\leq w}$  （就是说，${\displaystyle z}$  小于任何其他 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的上界）。

如果 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  有并，则实际上它是唯一的，因为如果 ${\displaystyle z}$  和 ${\displaystyle z'}$  都是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的最小上界，则 ${\displaystyle z\leq z'\leq z}$ ，因此确实 ${\displaystyle z=z'\,}$ 。如果并存在，它被指示为 ${\displaystyle x\lor y}$ 。A 中的某些对元素可能缺乏并，要么因为它们根本就没有上界，要么因为它们的上界没有一个小于所有其他的。如果所有的元素对都有并，则这个并实际上是在 A 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对于 A 中任何元素 ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$  和 ${\displaystyle z}$  有

a. ${\displaystyle x\land y=y\land x}$  (交换律)，

b. ${\displaystyle x\land (y\land z)=(x\land y)\land z}$  (结合律)，

c. ${\displaystyle x\land x=x}$  (幂等律)。

通过定义，在集合 A 上的二元运算 ${\displaystyle \lor }$  是并，如果它满足上述三个条件 a, b 和 c。有序对 (A,${\displaystyle \lor }$ ) 就是并半格。此外，我们可以定义在 A 上的二元关系 ${\displaystyle \leq }$ ，通过声称 ${\displaystyle x\leq y}$  当且仅当 ${\displaystyle x\lor y=y}$ 。事实上，这个关系是在 A 上的偏序。实际上，对于 A 中任何元素 ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$  和 ${\displaystyle z}$  有

${\displaystyle x\leq x}$ ，因为 ${\displaystyle x\lor x=x}$ ，通过公理 c；

如果 ${\displaystyle x\leq y}$  且 ${\displaystyle y\leq x}$ ，则 ${\displaystyle y=x\lor y=y\lor x=x}$ ，通过公理 a；

如果 ${\displaystyle x\leq y}$  且 ${\displaystyle y\leq z}$ ，则 ${\displaystyle x\leq z}$ ，因为 ${\displaystyle x\lor z=x\lor (y\lor z)=(x\lor y)\lor z=y\lor z=z}$ ，通过公理 b。

如果 (A,${\displaystyle \leq }$ ) 是偏序集合，使得 A 中每对元素都有并，则确实 ${\displaystyle x\lor y=y}$  当且仅当 ${\displaystyle x\leq y}$ ，因为在后者情况下 ${\displaystyle y}$  的确是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的上界，并且因为明显的 ${\displaystyle y}$  是最小上界当且仅当它是上界。因此，以泛代数方式的并定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来说，如果 (A,${\displaystyle \lor }$ ) 是并半格，并用泛代数的方式定义偏序 ${\displaystyle \leq }$ ，对于 A 中某些元素 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  有 ${\displaystyle z=x\lor y}$ ，则 ${\displaystyle z}$  是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  关于 ${\displaystyle \leq }$  的最小上界，因为 ${\displaystyle x\lor z=(x\lor x)\lor y=z\;\Rightarrow \;x\leq z}$ ，类似的 ${\displaystyle y\leq z}$ ，并且如果 ${\displaystyle w}$  是 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  的另一个上界，则 ${\displaystyle x\lor w=y\lor w=w}$ ，因而 ${\displaystyle z\lor w=(x\lor y)\lor w=x\lor (y\lor w)=x\lor w=w}$ 。所以最初的并定义的偏序定义的并一致于最初的并。

换句话说，这两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都有另一个确定，而且分别满足关于偏序或并的那些条件。

如果 (A,${\displaystyle \lor }$ ) 是并半格，则并可以被扩展为任何非空有限集合的良好定义的并，通过在迭代二元运算中描述的技术。可作为替代的，并定义或定义自偏序，A 的某个子集的确有关于它的上确界。对于非空有限子集，这两种方式生成同样的结果，因此任何一个都可以作为并的定义。在 A 的每个子集都有并的情况下，实际上 (A,${\displaystyle \leq }$ ) 是完全格；详情请参见完全性 (序理论)。

• 上确界
• 半格
• 格 (数学)
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