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和阿列夫数类似,ℶ 数(读作Beth数)也是一系列超穷基数。
阿列夫数的构造相对复杂,初学者较难掌握,而在连续统假设下,阿列夫数与 ℶ 数等价,下面介绍 ℶ 数的概念:
- 可数集(如自然数集)的基数标记为,下一个 ℶ 数被定义为上一个 ℶ 数的幂集的基数,即:
- 等等
定理
对任意的 α 有 ,而连续统假设即为 乃至 。
对 α = 1 的情况,证明分两步:一、ℵ₀ 和 ℵ₁ 之间无其他任何基数;[1]:29二、ℶ₁ 比 ℶ₀ 大(card(2X) > card(X))。[1]:7
常见叫法
在中国大陆,实数集的基数常被记为 c 或 ℵ ,即 ℵ := ℶ₁,这样连续统假设就常常被表述为 ℵ = ℵ₁.阅读相关读物时应避免混淆。人们在学数学分析(微积分)时常常以为自己时常遇到的是阿列夫数,事实上他们遇到的是 “ℵ”或“c”,即第一个 ℶ 数。
参考
- ^ 1.0 1.1 陈建功. 實函數論. 北京: 科学出版社. 1958年9月.