贝尔曼-福特算法

贝尔曼-福特算法与迪科斯彻算法类似，都以松弛操作为基础，即估计的最短路径值渐渐地被更加准确的值替代，直至得到最优解。在两个算法中，计算时每个边之间的估计距离值都比真实值大，并且被新找到路径的最小长度替代。 然而，迪科斯彻算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点，然后对其的出边进行松弛操作；而贝尔曼-福特算法简单地对所有边进行松弛操作，共${\displaystyle |V|-1}$ 次，其中${\displaystyle |V|}$ 是图的点的数量。在重复地计算中，已计算得到正确的距离的边的数量不断增加，直到所有边都计算得到了正确的路径。这样的策略使得贝尔曼-福特算法比迪科斯彻算法适用于更多种类的输入。

贝尔曼-福特算法的最多运行${\displaystyle O(|V|\cdot |E|)}$ （大O符号）次，${\displaystyle |V|}$ 和${\displaystyle |E|}$ 分别是节点和边的数量）。

伪代码

procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
   // 讀入邊和節點的列表並對distance和predecessor寫入最短路徑

   // 初始化圖
   for each vertex v in vertices:
       if v is source then distance[v] := 0
       else distance[v] := infinity
       predecessor[v] := null

   // 對每一條邊重複操作
   for i from 1 to size(vertices)-1:
       for each edge (u, v) with weight w in edges:
           if distance[u] + w < distance[v]:
               distance[v] := distance[u] + w
               predecessor[v] := u

   // 檢查是否有負權重的回路
   for each edge (u, v) with weight w in edges:
       if distance[u] + w < distance[v]:
           error "圖包含負權重的回路"

循环

每次循环操作实际上是对相邻节点的访问，第${\displaystyle n}$ 次循环操作保证了所有深度为n的路径最短。由于图的最短路径最长不会经过超过${\displaystyle |V|-1}$ 条边，所以可知贝尔曼-福特算法所得为最短路径。

负边权操作

与迪科斯彻算法不同的是，迪科斯彻算法的基本操作“拓展”是在深度上寻路，而“松弛”操作则是在广度上寻路，这就确定了贝尔曼-福特算法可以对负边进行操作而不会影响结果。

负权环判定

因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第${\displaystyle n}$ 次操作仍可降低花销，就一定存在负权环。

当使用这个算法查找最短路径时，有负回路会使算法找不到正确的答案。但是，由于在找到负回路后会中止算法，所以可以被用来查找目标，例如在网络流分析中的消圈算法(Cycle Cancellation Algorithms)

循环的提前跳出

在实际操作中，贝尔曼-福特算法经常会在未达到${\displaystyle |V|-1}$ 次前就出解，${\displaystyle |V|-1}$ 其实是最大值。于是可以在循环中设置判定，在某次循环不再进行松弛时，直接退出循环，进行负权环判定。

队列优化

西南交通大学的段凡丁于1994年提出了用队列来优化的算法。松弛操作必定只会发生在最短路径前导节点松弛成功过的节点上，用一个队列记录松弛过的节点，可以避免了冗余计算。原文中提出该算法的复杂度为${\displaystyle O(k|E|)}$ ，${\displaystyle k}$ 是个比较小的系数，^[1]但该结论被证明不适于于所有情况。^{[来源请求]}

Pascal语言示例

Begin
  initialize-single-source(G,s);
  initialize-queue(Q);
  enqueue(Q,s);
  while not empty(Q) do 
    begin
      u:=dequeue(Q);
      for each v∈adj[u] do 
        begin
          tmp:=d[v];
          relax(u,v);
          if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then
            enqueue(Q,v);
        end;
    end;
End;

C++语言示例

int SPFA(int s) {
	std::queue<int> q;
	bool inq[maxn] = {false};
	for(int i = 1; i <= N; i++) dis[i] = 2147483647;
	dis[s] = 0;
	q.push(s); inq[s] = true;
	while(!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		inq[x] = false;
		for(int i = front[x]; i !=0 ; i = e[i].next) {
			int k = e[i].v;
			if(dis[k] > dis[x] + e[i].w) {
				dis[k] = dis[x] + e[i].w;
				if(!inq[k]) {
					inq[k] = true;
					q.push(k);
				}
			}
		}
	}
	for(int i =  1; i <= N; i++) std::cout << dis[i] << ' ';
	std::cout << std::endl;
	return 0;
}

例：

${\displaystyle V=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\},E=\{(v_{1},v_{2}),(v_{1},v_{3}),(v_{2},v_{4}),(v_{4},v_{3})\}}$ ，${\displaystyle weight(v_{1},v_{2})=-1,weight(v_{1},v_{3})=3,weight(v_{2},v_{4})=3,weight(v_{4},v_{3})=-1}$ 。

运行如表： ${\displaystyle D:{\texttt {Dist}}[v],P:{\texttt {Pred}}[v]}$