中位数

实数${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ 按大小顺序（顺序，降序皆可）排列为${\displaystyle x'_{1},x'_{2},\dots ,x'_{n}}$ 、

实数数列${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ 的中位数 ${\displaystyle \mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)}$  为

${\displaystyle \mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)={\begin{cases}x'_{\frac {n+1}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd number.}}\\{\frac {1}{2}}(x'_{\frac {n}{2}}+x'_{{\frac {n}{2}}+1}),&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even number.}}\end{cases}}}$ 

其中 odd number 表示奇数，even number 表示偶数。

中位数在描述统计学上和平均数、众数并列为数据的集中趋势。三者的位置排序亦对应着偏度的正负偏态意义。一般而言，平均数是最常被使用做为数据的集中趋势，但如果有极端值存在，平均数的代表性降低，则中位数就是最佳的集中趋势代表。因此，在各国的每人所得分布上，通常以中位数代表集中趋势，而非平均数^[2]。

中位数通常出现在描述统计学和非参数统计，有参数的统计分析很少提及。中位数为集中趋势时，对应的离散趋势系数为平均绝对离差（Mean absolute deviation, MAD）或是四位位距(Q3 - Q1)。不过如果论及总体中位数的统计量时，仍需根据统计分析对抽样分配的要求，寻找总体中位数统计量的期望值与方差，再依照点估计的充分、无偏、效率、一致性进行讨论。而总体中位数的统计量通常是样本中位数。因此，样本中位数的期望值与方差就值得被讨论，进行基础研究。

正态分配下的中位数

正态分配下的平均数、中位数、众数都是同一个位置。目前最为世人熟知的是平均数的抽样分配会是正态分配，期望值为总体平均数${\displaystyle \mu }$ 且方差为总体方差(${\displaystyle \sigma _{2}}$ )。统计学对正态分配的总体平均数统计量说明甚多，并发展完善。那么中位数可基于概率分配模拟器和数值分析发展，在n个独立随机变量来自正态分配可生成n个随机样本，则E(样本中位数)=${\displaystyle \mu }$ 且Var(样本中位数)=${\displaystyle \sigma _{2}k(n)}$ ，其中，k(n)受到样本个数(n)影响。当样本个数介于2至200时，两者的关系不明显，但可计算出样本个数和k(n)的关联表^[3]。

如果样本个数超过200，但不超过1000时，两者有明显的关系，并且受到样本个数是否为奇数或偶数影响。此时可使用回归分析寻找两者的关系。

1. 样本个数为偶数，回归式为k(n) = 0.0000148965 + 1.5599936862 / n。

2. 样本个数为奇数，回归式为k(n) = 0.0000084608 + 1.5674001064 / n。

由此可得到样本中位数的方差和总体正态分配的方差形成稳定的对应关系^[4]。

• Calculating the median
• A problem involving the mean, the median, and the mode.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• mathworld: Statistical Median（页面存档备份，存于互联网档案馆）

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