高斯-勒让德算法

1. 设置初始值：
   ${\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1.\!}$ 
2. 反复执行以下步骤直到${\displaystyle a_{n}\!}$ 与${\displaystyle b_{n}\!}$ 之间的误差到达所需精度：
   ${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}}$ 
3. 则π的近似值为：
   ${\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n+1}+b_{n+1})^{2}}{4t_{n+1}}}.\!}$ 

下面给出前三个迭代结果（近似值精确到第一个错误的位数）：

${\displaystyle 3.140\dots \!}$ 

${\displaystyle 3.14159264\dots \!}$ 

${\displaystyle 3.1415926535897932382\dots \!}$ 

该算法具有二阶收敛性，本质上说就是算法每执行一步正确位数就会加倍。

算术-几何平均数的极限

a₀和b₀两个数的算术-几何平均数，是通过计算它们的序列极限得到的：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\end{aligned}}}$ 

两者汇聚于同一极限。
若${\displaystyle a_{0}=1\!}$ 且${\displaystyle b_{0}=\cos \varphi \!}$ ，则极限为${\displaystyle {\pi \over 2K(\sin \varphi )}\!}$ ，其中${\displaystyle K(k)\!}$ 为第一类完全椭圆积分：

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi \over 2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.\!}$ 

若${\displaystyle c_{0}=\sin \varphi \!}$ ，${\displaystyle c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}\!}$ ，则

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}c_{i}^{2}=1-{E(\sin \varphi ) \over K(\sin \varphi )}\!}$ 

其中${\displaystyle E(k)\!}$ 为第二类完全椭圆积分：

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi \over 2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .\!}$ 

高斯知道以上这两个结果。^[3][4][5]

勒让德恒等式

对于满足${\displaystyle \varphi +\theta ={1 \over 2}\pi \!}$ 的${\displaystyle \varphi \!}$ 与${\displaystyle \theta \!}$ ，勒让德证明了以下恒等式：

${\displaystyle K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={1 \over 2}\pi \!.}$ ^[3]

高斯-欧拉法

${\displaystyle \varphi =\theta ={\pi \over 4}\!}$ 的值可以代入勒让德恒等式，且K、E的近似值可通过${\displaystyle a_{0}=1\!}$ 与${\displaystyle b_{0}=\sin {\pi \over 4}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\!}$ 的算术-几何平均数的序列项得到。^[6]