双曲线扇形 双曲线扇形是指在一个笛卡儿坐标平面 ( x , y ) {\displaystyle {(x,y)}} 之上,双曲线 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 与从原点 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 出发的两条射线相交处的两点 ( a , 1 / a ) {\displaystyle (a,1/a)} 和 ( b , 1 / b ) {\displaystyle (b,1/b)} 之间的面积。 一个标准位置的双曲线扇形有 a = 1 {\displaystyle a=1} 及 b > 1 {\displaystyle b>1} 。 处于标准位置的双曲线扇形的面积是 ln b {\displaystyle \ln b} 。 证明: 黄色部分的面积相等于三角形 ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) {\displaystyle {(0,0),(1,0),(1,1)}} 的面积加上双曲线底下从 1 {\displaystyle 1} 到 b {\displaystyle b} 的面积,再减去白色三角形 ( 0 , 0 ) , ( b , 0 ) , ( b , 1 / b ) {\displaystyle {(0,0),(b,0),(b,1/b)}} 的面积。所以,黄色部分的面积为: ∫ 1 b d x x + 1 2 − 1 2 × b × 1 b = ∫ 1 b d x x = ln b {\displaystyle \int _{1}^{b}{dx \over x}+{1 \over 2}-{1 \over 2}\times b\times {1 \over b}=\int _{1}^{b}{dx \over x}=\ln b} 处于标准位置的双曲线扇形与正值的双曲角相对应。