斯图尔特定理此条目内容疑欠准确,有待查证。 (2012年11月12日)请在讨论页讨论问题所在及加以改善,若此条目仍有争议及准确度欠佳,会被提出存废讨论。斯图尔特定理(英语:Stewart's Theorem),或译史都华定理、斯特瓦尔特定理、斯图沃特定理[来源请求],又称为阿波罗尼奥斯定理。它说明: 在三角形 A B C {\displaystyle ABC} 的边 B C {\displaystyle BC} 上任意取一点 P {\displaystyle P} ,则: 斯图尔特定理 P C ¯ A B ¯ 2 + P B ¯ A C ¯ 2 = ( P B ¯ + P C ¯ ) ( P A ¯ 2 + P B ¯ P C ¯ ) {\displaystyle {\overline {PC}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {AC}}^{2}=({\overline {PB}}+{\overline {PC}})({\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {PC}})} 。该定理由苏格兰数学家马修·斯图尔特(英语:Matthew Stewart (mathematician))在1746年发表。这个定理以他的名字命名,来纪念他的贡献。[1] 证明 设a与p的交点为P。 对互补角APB和APC应用余弦定理,可得: b 2 = p 2 + y 2 − 2 p y cos θ {\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,} c 2 = p 2 + x 2 + 2 p x cos θ . {\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }.\,} 把第一个等式乘以x,把第二个等式乘以y : x b 2 = x p 2 + x y 2 − 2 p x y cos θ {\displaystyle xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,} y c 2 = y p 2 + y x 2 + 2 p x y cos θ . {\displaystyle yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }.\,} 两式相加,得: x b 2 + y c 2 = ( x + y ) p 2 + x y ( x + y ) , {\displaystyle xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,} 证毕。 ^ 存档副本. [2020-09-06]. (原始内容存档于2020-11-12).