三圆定理:设三个圆 , , 交于一点 ,而 , , 分别是 和 , 和 , 和 的另一交点。设 为 的点,直线 交 于 ,直线 交 于 。那么 , , 这三点共线。
逆定理:如果 是三角形, , , 三点分别在边 , , 上,那么三角形 , , 的外接圆交于一点 。
完全四线形定理:如果 是完全四线形,那么三角形 , , , 的外接圆交于一点 ,称为密克点。
四圆定理:设 , , , 为四个圆, 和 是 和 的交点, 和 是 和 的交点, 和 是 和 的交点, 和 是 和 的交点。那么 , , , 四点共圆当且仅当 , , , 四点共圆。
五圆定理:设 为任意五边形,五点 , , , , 分别是 和 , 和 , 和 , 和 , 和 的交点,那么三角形 , , , , 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆。需要注意这样构造出的圆并不穿过五个外接圆的圆心。
几何中的五圆定理是指,五个顺次相交的圆,其圆心和一个交点位于第六个圆上,将另一个交点两两连接并延长和圆相接,可以构成五角星。[1]
逆定理:设 , , , , 五个圆的圆心都在圆 上,相邻的圆交于 上,那么把它们不在 上的交点与比邻同样的点连起来,所成的五条直线相交于这五个圆上。
1838年奥古斯特·密克在约瑟夫·刘维尔的期刊《纯粹与应用数学杂志》发表了该定理的一部分。
密克的第一条定理,是很久前已有的著名经典结果,以圆周角定理证明。
完全四线形四圆的交点现在称为密克点,但这性质雅各布·施泰纳在1828年已经知道,威廉·华莱士也很可能已经知道。
五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由威廉·金顿·克利福德提出及证明。
2000年12月20日,中共中央总书记江泽民出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间,在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题[2],令问题重新引起广泛兴趣,五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。
阿兰·孔涅在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。