密克定理

密克定理(英语:Miquel's theorem)是几何学中关于相交的定理。1838年,奥古斯特·密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。

定理陈述

三圆定理:设三个圆,  ,  交于一点 ,而 ,  ,  分别是  ,   ,   的另一交点。设  的点,直线   ,直线   。那么 ,  ,  这三点共线。

逆定理:如果 是三角形, ,  ,  三点分别在边 ,  ,  上,那么三角形 ,  ,  的外接圆交于一点 

完全四线形定理:如果 完全四线形,那么三角形 ,  ,  ,  的外接圆交于一点  ,称为密克点

四圆定理:设 ,  , ,  为四个圆,    的交点,    的交点,    的交点,    的交点。那么 ,  ,  ,  四点共圆当且仅当 ,  ,  ,  四点共圆。

   

五圆定理:设为任意五边形,五点 ,  ,  ,  ,  分别是   ,   ,   ,   ,   的交点,那么三角形 ,  ,  ,  ,  的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆。需要注意这样构造出的圆并不穿过五个外接圆的圆心。

几何中的五圆定理是指,五个顺次相交的,其圆心和一个交点位于第六个圆上,将另一个交点两两连接并延长和圆相接,可以构成五角星[1]

逆定理:设 ,  ,  ,  ,  五个圆的圆心都在圆 上,相邻的圆交于 上,那么把它们不在 上的交点与比邻同样的点连起来,所成的五条直线相交于这五个圆上。

历史

1838年奥古斯特·密克约瑟夫·刘维尔的期刊《纯粹与应用数学杂志》发表了该定理的一部分。

密克的第一条定理,是很久前已有的著名经典结果,以圆周角定理证明。

完全四线形四圆的交点现在称为密克点,但这性质雅各布·施泰纳在1828年已经知道,威廉·华莱士也很可能已经知道。

五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由威廉·金顿·克利福德提出及证明。

2000年12月20日,中共中央总书记江泽民出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间,在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题[2],令问题重新引起广泛兴趣,五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。

阿兰·孔涅在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。

参考资料

  1. ^ Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 79. ISBN 0-14-011813-6. 
  2. ^ 江主席出题 濠江教师破解页面存档备份,存于互联网档案馆) - 濠江中学截取自澳门日报的新闻资料

外部链接