赋环空间

赋环空间 (ringed space) 在数学上系指一个拓扑空间配上一个交换环层,其中特别重要的一类是局部赋环空间。此概念在现代的代数几何学占重要角色。

定义

  • 一个赋环空间是一组资料 ,其中 为一拓扑空间而 是其上的交换环层。
  •  在每一点的都是局部环,则称之局部赋环空间

全体赋环空间构成一个范畴  态射是一组 ,其中 是连续映射, 是环层的态射(  定义为 )。

局部赋环空间亦成一范畴,其态射除上述要求外,还须满足:对每一点  在茎上诱导的自然态射 必须是局部的(若 是局部环,环同态 满足 ,则称φ为局部的)。

例子

  •  为任一拓扑空间,  表 U 上的连续函数),则  成一局部赋环空间: 的唯一极大理想由在 消没的函数构成。拓扑空间之间的连续映射诱导出局部赋环空间的态射,反之亦然。
  • 上述例子中的 可代以微分流形复流形,并将 代以 上的光滑函数或全纯函数。
  • 交换环谱 。给定环同态 ,φ诱导出局部赋环空间的态射 ;反之任一态射皆由环同态给出。

为了刻划这些态射,局部的条件在此不可或缺,它可被视为  之间的联系;例如,若不要求局部性,则交换环谱的态射不一定由环同态给出——尽管从古典角度看这是必然的。