笛卡儿叶形线

笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为：

a=1

x^{3}+y^{3}-3axy=0.\,

在极坐标中的方程为：

r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}.

这个名字来自 拉丁文 的 folium ，意思是 "leaf"（叶子）。

曲线的特征

利用隐函数的求导法则，我们可以求出y'：

{\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}.

利用直线的点斜式方程，我们可以求出点 $(x_{1},y_{1})$ 处的切线方程：

y-y_{1}={\frac {ay_{1}-x_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-ax_{1}}}(x-x_{1}).

当 $ay-x^{2}=0$ 时，笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以：

x=a{\sqrt[{3}]{2}}.

当 $y^{2}-ax=0$ 时，笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以：

y=a{\sqrt[{3}]{2}}.

这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到，曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于 $y=x$ 对称，所以如果水平切线有坐标 $(x_{1},y_{1})$ 的话，则一定有一个对应的竖直切线，坐标为 $(y_{1},x_{1})$ 。

曲线有一条渐近线：

x+y+a=0.

这个渐近线的斜率是-1，x截矩和y截矩都是-a。

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.
Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 77-82, 1997.
Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 106-109, 1972.
MacTutor History of Mathematics Archive. "Folium of Descartes." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
Stroeker, R. J. "Brocard Points, Circulant Matrices, and Descartes' Folium." Math. Mag. 61, 172-187, 1988.
Yates, R. C. "Folium of Descartes." In A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 98-99, 1952.