均衡点

均衡点（显示在图中的大黑点：•）的位置在以均轮的中心（以 × 代表）相对于地球是中心对称的点上。从这个点观察行星或本轮的中心（携带行星的小圆），能以恒定的角速度运动。换言之，一个在假设的均衡点上的观测者，观察到的本轮中心是以稳定的角速度在移动。然而，本轮的中心相对于均轮的移动不是恒定的速度^[1]。

使用本轮的原因是要保持天体的圆周运动是常数的假象，以符合由亚里士多德出於哲学原因而产生长期信仰的一篇文章，同时又能与观测与计算的天体运动，特别是太阳和月球之外，所有太阳系中有大大小小视逆行运动的天体最匹配。

角α的顶点位于本轮的中心，它的边分别与行星和均衡点相交，是时间t的函数：

${\displaystyle \alpha (t)=\Omega t-\arcsin \left({\frac {E}{R}}\sin(\Omega t)\right)}$ 

其中的Ω从半径为R的均轮，距离为E的均衡点观察，是稳定（常数）的角速度^[2]。

均衡点模型有一个天体在不与地球共用中心的一条圆型路径（均轮）上移动。物体移动的速度在其围绕外圈（虚线）的轨道中会有所不同，上半部分得度较快，下半部分的速度较慢。只是从均衡点观察，运动被认为是均匀的，行星在相同的时间移动相同的角度。但从轨道内的其它任何一点观看时，该行星的速度是不均匀的。

托勒密在《天文学大成》中介绍了均衡点。均衡点是根据亚里士多德物理学必须设置的，这是取决于他自己和某个"贤者"（也许是斯米尔纳（英语：Theon of Smyrna））^[1]。

在托勒密之前的宇宙模型中，通常归因于喜帕恰斯，已经有偏心和本轮的特征存在着。公元1世纪的罗马普林尼，他显然有机会获得已故希腊天文学家的著作，而不是全靠他自己一个人，已经正确的知道五颗行星的拱点和黄道的^[3]。这些数据需要偏心运动中心的概念，我们对喜帕洽斯有许多的了解，都是通过托勒密的《天文学大成》这部作品获得的。喜帕恰斯的模型解释了地球上的季节长度（称为"第一近点角"）和行星逆行运动外观（称为"第二近点角"）的差异。但是喜帕恰斯无法预测与观测相匹配的行星逆行位置和持续的时间；他可以符合位置，也可以符合时间，但不能同时符合两者^[4]。托勒密引进了均衡点解决了这个矛盾：位置由均轮和本轮决定，而持续时间由观察到均匀运动的均衡点来测量和决定。

托勒密的天文学模型被用作一种技术，即使均衡点和偏心是违反纯亚里士多德物理学要求所有运动的中心都集中在地球，但依然可以回答占星术和预测行星位置的问题将近1,500年。几个世纪以来，纠正这种违反行为一直是学者们关注的焦点，最终解决问题的是伊本·阿尔沙蒂尔（英语：Ibn al-Shatir]]]）和哥白尼。托勒密的预测，需要相关的学者在这几个世纪不断的监督和纠正，最后终结于第谷·布拉赫在乌拉尼堡（英语：Uraniborg）的观测。

直到开普勒依据他和第谷在乌拉尼堡观测收集的数据，发表了他的《新天文学》，托勒密的模型才被新的几何模型完全取代^[5][6]。

均衡点解决了行星异常运动的最后一个主要问题，但有些人认为这损害了古希腊哲学家和天文学家的原则：围绕地球的均匀圆周运动^[7]。一般假定从均轮中心观察到均匀性，由于只发生在一个点，因此从其它任何店观察到的都是非均匀运动。托勒密明确地将观察点从均轮的中心移至均衡点。这可被视为违反了均匀的圆周运动规则的一部分。对均衡点的批评者包括图西对（英语：Tusi couple）作为替代解释的波斯天文学家纳西尔丁·图西^[8]，和以一对新周期本轮替代均轮的哥白尼。对均衡点的厌恶是哥白尼建构其日心系统的主要动机^[9][10]。这种不同于以地球为中心围绕的完美圆周运动，困扰了许多思想家，特别是认为均衡点是可怕的架构，而建立天体运行论的哥白尼。哥白尼将地球由宇宙的中心移开，通过逆行运动是光学上错觉的解释，使托勒密的本轮运动不再是主要的需求，但他仍将两个小轮引入每颗行星的运动来取代均衡点。

• Equidimensional：这是形容词，意思与均衡点（equant）相同^{[来源请求]}。
• 均轮和本轮

1. ^ ^{1.0 1.1} Evans, James. On the function and probable origin of Ptolemy's equant (PDF). American Journal of Physics. April 18, 1984, 52 (12): 1080–89 [August 29, 2014]. Bibcode:1984AmJPh..52.1080E. doi:10.1119/1.13764. （原始内容存档 (PDF)于2018-11-05）. 
2. ^ Eccentrics, deferents, epicycles and equants (Mathpages). [2020-09-19]. （原始内容存档于2012-10-10）. 
3. ^ Pliny the Elder. The Natural History, Book 2: An account of the world and the elements, Chapter 13: Why the same stars appear at some times more lofty and some times more near. [August 7, 2014]. （原始内容存档于2017-04-22）. 
4. ^ The New Astronomy - Equants, from Part 1 of Kepler's Astronomia Nova. science.larouchepac.com. [August 1, 2014]. （原始内容存档于2020-01-17）.  An excellent video on the effects of the equant
5. ^ Perryman, Michael. History of Astrometry. European Physical Journal H. 2012-09-17, 37 (5): 745–792. Bibcode:2012EPJH...37..745P. arXiv:1209.3563  . doi:10.1140/epjh/e2012-30039-4. 
6. ^ Bracco; Provost. Had the planet Mars not existed: Kepler's equant model and its physical consequences. European Journal of Physics. 2009, 30: 1085–92. Bibcode:2009EJPh...30.1085B. arXiv:0906.0484  . doi:10.1088/0143-0807/30/5/015. 
7. ^ Van Helden. Ptolemaic System. [20 March 2014]. （原始内容存档于2014-04-08）. 
8. ^ Craig G. Fraser. The Cosmos: A Historical Perspective. Greenwood Publishing Group. 2006: 39 [2020-09-19]. ISBN 978-0-313-33218-0. （原始内容存档于2019-12-25）. 
9. ^ Kuhn, Thomas. The Copernican Revolution. Harvard University Press. 1957: 70–71. ISBN 978-0-674-17103-9.  (copyright renewed 1985)
10. ^ Koestler A. (1959), The Sleepwalkers, Harmondsworth: Penguin Books, p. 322; see also p. 206 and refs therein. [1]

• Ptolemaic System（页面存档备份，存于互联网档案馆） – at Rice University's Galileo Project
• Java simulation of the Ptolemaic System – at Paul Stoddard's Animated Virtual Planetarium, Northern Illinois University