对量子比特这样的双态量子系统而言,其存在的可能状态 (采用狄拉克标记的右矢表示)可以由两个互相正交的基底以复数线性叠加所构成,这两个基底可以选用 和 为代表。在物理实现上, 和 代表了做投影式量子测量所会得到的唯二结果。
从任意纯态出发: ,其中 。
故可设:
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其中 称作共同相位(global phase),因为对 、对 都一样影响,而在实验上测量不出来,故可以将之舍弃不看。也因为如此,我们可以令 为非负实数。
至于相对相位(relative phase) 就不同了,它的影响可以在球面上表现出来。故得:
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由于 的存在,我们也能令 非负实数。
由上述条件可定出 与 的范围如下:
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将 和 的所有分布在三维空间 中画出来,就可以得到一个球面,此即布洛赫球面,如同图1。
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可以注意到正交(有“垂直,呈90度关系”的意思)的两个基底 和 在此几何表示法下成为一轴的两端,变成180度关系( 的缘故)。通常设置它们处在 轴,即:
- 是 、
- 是 ,
离球心距离皆是1。
有些学者及书刊对于球面所采用的表示为:
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角度范围:
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是故,其状态 的定义为:
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此种表示法的用意在使布洛赫球面上 表示方式和一般 中的球面以球坐标 表示方式一致。