在仿射几何和欧氏几何中,莱布尼茨向量和标量函数是把点对应到向量或数量的函数。这种函数和重心关系密切;用重心可以给出函数的简洁形式。
莱布尼茨向量函数
考虑仿射空间 和相伴的向量空间 。设 是 点的族, 是 数量的族。与系统 相伴的莱布尼茨向量函数是从 到 的映射,把点 对应到向量 。
设系数和 为零,那么函数是常值。如果有一个系数非零(例如 ),这常值等于 ,其中 是系统 的重心。
设系数和非零,函数可化简成
-
这个性质使得多个向量的线性组合可以借由重心化简成一个向量。如果向量空间是有限维,由此可以给出重心的座标。
其实 。
把上式转为座标就是
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莱布尼茨标量函数
考虑欧几里得仿射空间 和相伴的域 。设 是 点的族, 是 数量的族。与系统 相伴的莱布尼茨标量函数,是从 到 的映射,把点M对应到数量 。
设系数和 为零,那么函数可化简成
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其中 等于与这系统相伴的莱布尼茨向量函数的常值, 是任意固定点。
设系数和非零,那么函数可化简成
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其中 是系统 的重心。
这个化简令点的位置问题可以很容易解决(见莱布尼茨定理)。
例:在2维情形,集 适合 的是
- 当系数和为零
- 与 垂直的直线,如果 非零
- 整个平面或空集(取决于 的值),如果 为零
- 当系数和非零
- 圆心为 的圆,点 或空集(取决于 的值)
参见