支撑函数

在数学领域内， $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个非空的闭凸子集 $A$ 的支撑函数 $h_{A}$ ，描述了从 $A$ 的支撑超平面（supporting hyperplane）到原点的距离。 $h_{A}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的一个凸函数。任意一个非空的闭凸子集都可以由它的支撑函数唯一确定。进一步地， $h_{A}$ 作为集合 $A$ 上的函数，与这个集合上许多几何变换是相容的，比如伸缩变换、平移变换、旋转变换以及闵可夫斯基和。因为具有这些性质，支撑函数是凸分析或凸几何中最基础与重要的概念。

定义

$\mathbb {R} ^{n}$ 的非空闭凸子集 $A$ 的支撑函数是：

$h_{A}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} :x\rightarrow sup\{x\cdot a:a\in A\}$ ，其中 ${\textstyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

下面的性质并不要求集合A是闭且凸的：在 $h_{A}(x)$ 有界时，集合 $\{u\in \mathbb {R} ^{n}:u\cdot x\leq h_{A}(x)\}$ 表示最小的包含A的闭的半空间（half-space）；进一步地，集合 ${\mathcal {H}}_{x}=\{u\in \mathbb {R} ^{n}:u\cdot x=h_{A}(x)\}$ 就是A的支撑超平面（supporting hyperplane）。^[1]

原点到A的支撑超平面的距离 $d_{{\mathcal {H}}_{x}}(0)$ 满足这样的关系： $d_{{\mathcal {H}}_{x}}(0)={\frac {h_{A}(x)}{|x|}}$ 。取x 的模为1 就利用A的支撑函数描述了A的支撑超平面到原点的距离。

例子

单点集的支撑函数： ${\textstyle A=\{a\}}$ ， ${\textstyle h_{A}(x)=x\cdot a}$
单位球的支撑函数： ${\textstyle B_{1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}}$ ， $h_{B_{1}}(x)=|x|$
取A为从a到-a的线段，则有： $h_{A}=|x\cdot a|$

引用

^ Bauschke, Heinz H; Combettes, Patrick L. Convex Analysis and Monotone Operator Theory in HilBert Spaces. Springer New York Dordrecht Heidelberg London: Springer. 2011: 109. ISBN 978-1-4419-9466-0.

[1] Bauschke, Heinz H; Combettes, Patrick L. Convex Analysis and Monotone Operator Theory in HilBert Spaces. Springer New York Dordrecht Heidelberg London: Springer. 2011: 109. ISBN 978-1-4419-9466-0.

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