渐近分析渐近分析(asymptotic analysis、asymptotics),在数学分析中是一种描述函数在极限附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下: 在计算机科学中,算法分析考虑给定算法在输入非常大的数据集时候的性能。 当实体系统的规模变得非常大的时候,分析它的行为。最简单的例子如下:考虑一个函数 f ( n ) {\displaystyle f(n)} ,我们需要了解当 n {\displaystyle n} 变得非常大的时候 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 的性质。 令 f ( n ) = n 2 + 3 n {\displaystyle f(n)=n^{2}+3n} ,在 n {\displaystyle n} 特别大的时候,第二项 3 n {\displaystyle 3n} 比起第一项 n 2 {\displaystyle n^{2}} 要小很多。 于是对于这个函数,有如下断言:“ f ( n ) {\displaystyle f(n)} 在 n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } 的情况下与 n 2 {\displaystyle n^{2}} 渐近等价”,记作 f ( n ) ∼ n 2 {\displaystyle f(n)\sim n^{2}} 。 目录 1 渐近等价 2 渐近展开 3 相关条目 4 参考注释 5 外部链接 渐近等价 定义:给定关于自然数 n {\displaystyle n} 的复函数 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} , 命题 f ( n ) ∼ g ( n ) ( n → ∞ ) {\displaystyle f(n)\sim g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )} 表明(使用小o符号) f ( n ) = g ( n ) + o ( g ( n ) ) ( n → ∞ ) {\displaystyle f(n)=g(n)+o(g(n)){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )} 或(等价记法) f ( n ) = ( 1 + o ( 1 ) ) g ( n ) ( n → ∞ ) {\displaystyle f(n)=(1+o(1))g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )} 。 这说明,对所有正常数 ϵ {\displaystyle \epsilon } ,存在常量 N {\displaystyle N} ,使得对于所有的 n ⩾ N {\displaystyle n\geqslant N} 有 | f ( n ) − g ( n ) | ⩽ ϵ | g ( n ) | {\displaystyle |f(n)-g(n)|\leqslant \epsilon |g(n)|} 。 当 g ( n ) {\displaystyle g(n)} 不是0或者趋于无穷大时,该命题可等价记作 lim n → ∞ f ( n ) g ( n ) = 1 {\displaystyle \lim _{n{\rightarrow }\infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1} 。 渐近等价是一个关于 n {\displaystyle n} 的函数的集合上的等价关系。非正式地,函数 f {\displaystyle f} 的等价类包含所有在极限情况下近似等于 f {\displaystyle f} 的函数 g {\displaystyle g} 。 渐近展开 主条目:渐近展开 函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛,但每一个部分和都表示 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的一个渐近表示式。例子:斯特灵公式。 相关条目 渐近运算复杂度(英语:Asymptotic computational complexity) 渐近理论(英语:Asymptotic theory)参考注释 外部链接 J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint (页面存档备份,存于互联网档案馆).