有效域

在数学的一个分支——凸分析中,有效域是对定义域的扩展。

定义

给定一个向量空间X,则一个映射到广义实数域凸函数  有效域 被定义为:

 [1][2]

对于凹函数,其有效域为:

 [1]

有效域的一个等价说法是上镜图的投影,即:

 [3]

注意,如果一个凸函数映射到一般的实数域,即  ,则其有效域等价于一般的定义域。

函数   被称作是真凸函数,当且仅当f 是凸的, f的有效域非空,且对于任意   [3]

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3. Springer. 2007: 254. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9. 
  2. ^ Föllmer, Hans; Schied, Alexander. Stochastic finance: an introduction in discrete time 2. Walter de Gruyter. 2004: 400. ISBN 978-3-11-018346-7. 
  3. ^ 3.0 3.1 Rockafellar, R. Tyrrell. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997: 23 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6.