半连续性

设 ${\displaystyle X}$  为拓扑空间，${\displaystyle x_{0}\in X}$ ，而 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$  为实值函数。若对每个 ε > 0 都存在 ${\displaystyle x_{0}}$  的开邻域 ${\displaystyle U}$  使得 ${\displaystyle \forall x\in U,\;f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$ ，则称 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle x_{0}}$  上半连续。该条件也可以用上极限等价地表述：

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$ 

若 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle X}$  上的每一点都是上半连续，则称之为上半连续函数。

下半连续性可以准此定义：若对每个 ε > 0 都存在 ${\displaystyle x_{0}}$  的开邻域 ${\displaystyle U}$  使得 ${\displaystyle \forall x\in U,\;f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$ ，则称 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle x_{0}}$  下半连续。用下极限等价地表述为：

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$ 

若 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle X}$  上的每一点都是下半连续，则称之为下半连续函数。

拓扑基 ${\displaystyle ]-\infty ,a[\;\;(a\in \mathbb {R} )}$  赋予实数线 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  较粗的拓扑，上半连续函数可以诠释为此拓扑下的连续函数。若取基为 ${\displaystyle ]a,+\infty [\;\;(a\in \mathbb {R} )}$ ，则得到下半连续函数。

考虑函数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&,x<0\\1&,x\geq 0\end{cases}}}$ 

此函数在 ${\displaystyle x_{0}=0}$  上半连续，而非下半连续。

下整数函数 ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor }$  处处皆上半连续。同理，上整数函数 ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$  处处皆下半连续。

一个函数在一点连续的充要条件是它在该点既上半连续也下半连续。

若 ${\displaystyle f,g}$  在某一 点上半连续，则 ${\displaystyle f+g}$  亦然；若两者皆非负，则 ${\displaystyle fg}$  在该点也是上半连续。若 ${\displaystyle f}$  在一点上半连续，则 ${\displaystyle -f}$  在该点下半连续，反之亦然。

若 ${\displaystyle X}$  为紧集（例如闭区间），则其上的上半连续函数必取到极大值，而下半连续函数必取到极小值。

设 ${\displaystyle f_{n}}$  为下半连续函数序列，而且对所有 ${\displaystyle x\in X}$  有

${\displaystyle f(x)=\sup _{n}f_{n}(x)<+\infty }$ 

则 ${\displaystyle f}$  是下半连续函数。

开集的指示函数为下半连续函数，闭集的指示函数为上半连续函数。

• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. Counterexamples in analysis. Dover Publications. 2003. ISBN 0486428753.  引文使用过时参数coauthors (帮助)

• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. 1997. ISBN 9810225342.  引文使用过时参数coauthors (帮助)