离散傅里叶级数

周期为N的周期串行${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ，其离散傅里叶级数为${\displaystyle \left\{x_{k}\right\}}$ ：

${\displaystyle x[k]=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}}$ 

其中，DFS的逆变换串行：

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x[k]\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}}$  （k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

连续周期信号的离散化（下面的讨论中，${\displaystyle \omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}}$ ）：

1. 首先，在傅里叶级数一文中，我们知道函数${\displaystyle f(t)=e^{i({\frac {2\pi }{T}})t}}$ 是对于任意的T是周期为T的函数，然而其对应的离散信号则不一定是周期的，可以证明，只有当${\displaystyle {\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}$ 是有理数时，离散信号f[n]才是周期函数。
2. 其次，在满足条件1的前提下，连续周期信号${\displaystyle f_{k}(t)}$ 对应的离散信号${\displaystyle f_{k}[n]=e^{ik({\frac {2\pi }{N}})n}}$ 对k也具有周期性，其周期为N,即${\displaystyle f_{k}[n]}$ 中只有N个不同的串行。
3. 从离散时间傅里叶变换的系数公式我们可以看出，${\displaystyle a_{k}}$ 也是对k周期为N的函数。
4. 离散傅里叶变换实际上是离散时间傅里叶级数在主值区间上的取值。我们注意到，离散傅里叶变换是对非周期函数f[n]进行的，如果我们对f[n]的定义拓广为周期函数f'[n]：${\displaystyle f'[n]=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }f(n+i\cdot N)}$ 。并且当${\displaystyle N\to \infty }$ 时，f'[n]实际上就是f[n]，那么我们现在可以求出f'[n]的傅里叶级数。同样，当${\displaystyle N\to \infty }$ 时无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数${\displaystyle X(e^{i\omega })}$ （正如离散傅里叶变换一文中所述），这就是f[n]的离散时间傅里叶变换。这时，只需在它的主值区间上采样，就可以得到离散傅里叶变换的变换串行。

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