罗森布罗克系统矩阵

考虑以下动力系统

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$ 

${\displaystyle y=Cx+Du.}$ 

其罗森布罗克系统矩阵为

${\displaystyle P(s)={\begin{pmatrix}sI-A&-B\\C&D\end{pmatrix}}.}$ 

在罗森布罗克原始研究中，允许常数矩阵${\displaystyle D}$ 是${\displaystyle s}$ 的多项式。

输入${\displaystyle i}$ 及输出${\displaystyle j}$ 的变换函数为

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\begin{vmatrix}sI-A&-b_{i}\\c_{j}&d_{ij}\end{vmatrix}}{|sI-A|}}}$ 

其中${\displaystyle b_{i}}$ 为矩阵${\displaystyle B}$ 的第${\displaystyle i}$ 个列（column），而${\displaystyle c_{j}}$ 是矩阵 ${\displaystyle C}$ 的第${\displaystyle j}$ 行（row）。

罗森布罗克就是以此表示方式推导其定义版本的Popov–Hautus–Belevitch测试（有关可控制性的测试）。

为了计算的考量，有时需要较短形式的罗森布罗克系统矩阵^[2]，表示如下

${\displaystyle P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$ 

短形式的罗森布罗克系统矩阵广为在H-infinity控制中使用，也称为packed form，例如MATLAB的指令pck^[3]。罗森布罗克系统矩阵在线性分数阶变换的含义可以参阅^[4]。

罗森布罗克系统矩阵的第一个应用是发展卡尔曼分解的快速计算方式。在Matlab及GNU Octave中的minreal指令用到了罗森布罗克方式的变体^[5]。