哈尔小波

哈尔小波转换小波转换(Wavelet transform)中最简单的一种转换,也是最早提出的小波转换。
其对应的缩放方程式(scaling function)可表示为:

其滤波器(filter)h[n]被定义为
h[n] = :
当 n = 0 与 n = 1 时,有两个非零系数,因此,我们可以将它写成

哈尔小波的母小波(mother wavelet)可表示为:

在所有正交性(orthonormal)小波转换中哈尔小波转换(Haar wavelet)是最简单的一种转换,但它并不适合用于较为平滑的函数,因为它只有一个消失矩(Vanishing Moment)。

小波母函数


 


 


由图示可知:

(1):

 

 
 

(2):

 

 
 

尺度函数

scaling function

 


 


 


特性

哈尔小波具有如下的特性:

(1)任何 function 都可以由  以及它们的位移所组成。

(2)任何平均为 0 的function 都可以由  所组成,也就是,任何 function 都可以由 常数,  所组成。

(3)正交性(Orthogonal)  

(4)不同宽度的(也就是不同 m) 的wavelet/scaling functions之间会有一个关系

  

   

  

   

(5)可以用 m+1的 系数来计算 m 的系数

 

 

 

 

图示如下:

快速算法

为多重解析结构(multiresolution analysis )

参考

  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013.
  • Wavelets and subbands : fundamentals and applications/Agostino Abbate, Casimer M. DeCusatis, Pankaj K. Das.