多分辨率分析

L^p空间${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 的多分辨率分析由一系列嵌套子空间组成

${\displaystyle \{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$ 

• 取样定理

  取样定理主要是在重建一个时间长度${\displaystyle T}$ 中被取样过的信号：若信号是有限带宽，只要奈奎斯特频率（Nyquist frequency）比1/${\displaystyle T}$ 小及可完整重建信号；否则得到的重建信号为近似的信号。因此可以说，愈小的${\displaystyle T}$ 使得信号的重建愈容易，${\displaystyle T}$ 的大小将决定信号分辨率，同时，采样率也受到，${\displaystyle T}$ 的限制。

• 概念

  倘若一个信号具有变化速度差异大的区段，像是信号快速变化的区段穿插著变化平缓的区段，则上述单一分辨率将不适用于分析信号。因此，多重分辨率分析的概念因此而生。将信号在不同分辨率上分析。

• 定义

  令${\displaystyle V_{j},j=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots }$ 为在函数空间${\displaystyle L^{2}(R)}$ 里的子空间的数列，假如

  1. 分簇性(nested)：${\displaystyle \dots \subset V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$ 
  2. 稠密性(density)：${\displaystyle {\bar {\dots \cup V_{-1}\cup V_{0}\cup V_{1}\cup \dots }}=L^{2}(R)}$ 
  3. 分离性(seperation)：${\displaystyle \dots \cap V_{-1}\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \dots ={0}}$ 
  4. 调节性(scaling)：${\displaystyle f(2^{-j}x)\in V_{0}\leftrightarrow f(x)\in V_{j}}$ 
  5. 正规正交基底(orthonormal basis)：${\displaystyle \phi \in V_{0}}$ 且集合${\displaystyle \left\{\phi (x-k),k\in Z\right\}}$ 为${\displaystyle V_{0}}$ 的一正规正交基底。

  则${\displaystyle \left\{V_{j},j\in Z\right\}}$ 为带有调整函数${\displaystyle \phi }$ 的多分辨率分析。

• 应用

  在高频的时候，使用较细致的时间分辨率及较粗糙的频率分辨率。

  在低频的时候，使用较细致的频率分辨率及较粗糙得时间分辨率。

  相当适合使用在长时间都是低频成分，只有在短时间内会有高频成分的信号