令 {Vj }j∈Z为多分辨率近似,并且Ø为具有傅立叶变换的调整函数
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其中
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当j∈Z,Vj的正交基底为{Φj,n}n∈Z
定理证明
为了建造一个标准正交基底,我们寻找一个函数Φ∈V0。 因此,它可以在{θ(t-n)}n∈Z的基础上扩展:
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这意味着
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其中 是周期2W的有限能量的傅立叶级数。 为了计算 我们表示了
频域中{Φ(t-n)}n∈Z的正交性。 设 。
对任意(n,p)∈Z2而言
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因此,只有在 时,{Φ(t-n)}n∈Z是正交的。
计算此等式的傅里叶变换得到
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实际上, 的傅里叶变换是 ,取样函数可以对其傅立叶变换进行周期化。
如果我们选择下列式子,则上式将被证实
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其中分母具有严格上下限,因此a是有限能量的2W周期函数。
近似值
通过缩放正交基础的扩展,获得f在Vj上的正交投影
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内积为
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在尺度2j处拥有离散近似。 我们可以将它们重写为卷积形式:
- , with
傅立叶转换 的能量通常集中在[-π,π]中。
因此, 的傅立叶转换 主要是在[-2-jπ,2-jπ]中,不可忽略不计。
离散近似 aj[n] 是以间隔 2j 取样的 f 低通滤波。