曲波变换

曲波变换（英语：Curvelet Transform）是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广，曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。

小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号，通过局域化朝向（Orientation），小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于，对于角度的局域化性质会随着尺度变化。

曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号，这些信号由具有有界曲率的曲线构成，卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质，^[1]这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征，它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时，选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。

当图像类型适合时，曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。通过假设仅使用 $n$ 个小波作为几何测试图像的最佳逼近，并将近似误差作为 $n$ 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换，均方误差的衰减速度约为 $O(1/{\sqrt {n}})$ 。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换，均方误差的衰减速度约为 $O(1/n)$ 。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为 $O({(\log n)}^{3}/{n^{2}})$ 。

Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法，分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换（Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT)）和基于卷绕的Curvelet变换（Based on the wrapping of specially selected Fourier samples）；对于大小为 $n\times n$ 的图片，二者的计算复杂度均为 $O(n^{2}\log n)$ ，约是快速傅里叶变换的6-10倍。^[2]

曲波的构建

为了构建曲波的基函数 $\phi$ ，并在二维频率平面提供一个平铺（tiling），以下两个方面应当得到考虑：

考虑频域的极坐标
构建的曲波基应以近似楔形的方式局部支撑

在尺度 $2^{-j}$ 下，楔形元素的数量为 $N_{j}=4\cdot 2^{\lceil {\frac {j}{2}}\rceil }$ ，也就是说，每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标 ${\boldsymbol {\xi }}=(\xi _{1},\xi _{2})^{T}$ ，所以频域的极坐标为 $r={\sqrt {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}}$ ， $\omega =\arctan {\frac {\xi _{1}}{\xi _{2}}}$ 。

在极坐标下，我们假设膨胀的基本曲波为：

${\hat {\phi }}_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}_{N_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N_{0}$

为了使构建的曲波基在一个近似楔形区域上支撑，两个窗函数 $W$ 和 ${\tilde {V}}_{N_{j}}$ 需要是紧支撑的。我们可以简单的使 $W(r)$ 覆盖 $(0,\infty )$ ，膨胀的曲波和 ${\tilde {V}}_{N_{j}}$ 使得每一个圆环被 ${\tilde {V}}_{N_{j}}$ 的平移覆盖。

由容许性条件可以得出：

$\sum _{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).$

为了利用 $N$ 个楔形平铺一个圆环（ $N$ 为正整数）我们需要以 $2\pi$ 为周期的非负窗 ${\tilde {V}}_{N}$ 在区间 $\left[{\frac {-2\pi }{N}},{\frac {2\pi }{N}}\right]$ 内支撑，使得：

$\sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=1,\omega \in \left[0,2\pi \right)$

${\tilde {V}}_{N}$ 可以简单的由一个标量窗通过 $2\pi$ 周期化构建为 $V({\frac {N\omega }{2\pi }})$ 。

所以：

$\sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}})\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}$

为了完全覆盖包括零点附近区域的频率平面，我们需要定义一个低通成分 ${\hat {\phi }}_{-1}:=W_{0}(|\xi |)$ 满足：

$W_{0}^{2}(r)^{2}:=1-\sum _{j=0}^{\infty }W(2^{-j}r)^{2}$

该部分在单位圆上支撑，此时不考虑旋转。

关于Curvelet性质、构建及其离散化的详细信息，参见^[1]^[3]^[4]。

应用

图像处理
地震勘探
流体力学
求解偏微分方程
压缩感知

外部链接

Curvelet.org 主页（页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: I. Resolution of the wavefront set. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2). ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.003 （英语）.
^ Candès, Emmanuel; Demanet, Laurent; Donoho, David; Ying, Lexing. Fast Discrete Curvelet Transforms. Multiscale Modeling & Simulation. 2006-01, 5 (3). ISSN 1540-3459. doi:10.1137/05064182X （英语）.
^ Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: II. Discretization and frames. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2). ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.004 （英语）.
^ Ma, Jianwei; Plonka, Gerlind. The Curvelet Transform. IEEE Signal Processing Magazine. 2010-03, 27 (2). ISSN 1558-0792. doi:10.1109/MSP.2009.935453.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: I. Resolution of the wavefront set. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2). ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.003 （英语）.

[2] Candès, Emmanuel; Demanet, Laurent; Donoho, David; Ying, Lexing. Fast Discrete Curvelet Transforms. Multiscale Modeling & Simulation. 2006-01, 5 (3). ISSN 1540-3459. doi:10.1137/05064182X （英语）.

[3] Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: II. Discretization and frames. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2). ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.004 （英语）.

[4] Ma, Jianwei; Plonka, Gerlind. The Curvelet Transform. IEEE Signal Processing Magazine. 2010-03, 27 (2). ISSN 1558-0792. doi:10.1109/MSP.2009.935453.

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