分圆多项式
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n次分圆多项式,是指多项式xn-1分解因式结果中的一个特定多项式f(x),满足f(x)=0的解都不是低于n次的形如xn-1=0的方程的解。 n次的分圆多项式的根是e(2iπk/n) 而(k,n)=1
例子
下表是几个次数较低的分圆多项式。
次数 | 对应的分圆多项式 |
---|---|
1 | x-1 |
2 | x+1 |
3 | x2+x+1 |
4 | x2+1 |
5 | x4+x3+x2+x+1 |
6 | x2-x+1 |
7 | x6+x5+x4+x3+x2+x+1 |
8 | x4+1 |
9 | x6+x3+1 |
10 | x4-x3+x2-x+1 |
11 | x10+x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1 |
12 | x4-x2+1 |
性质
基础性质: 分圆多项式是整系数的不可约多项式,对于xn-1的分圆多项式f(n) ,有f(n)的次数为Φ(n),Φ(n)是欧拉函数
计算: 对于n为质数的分圆多项式,我们有: