TSQR

TS矩阵的特点是行(Row) ${\displaystyle \gg }$  列(Column)。 如下图${\displaystyle A}$ 就是一个典型的TS矩阵。

${\displaystyle A_{m\times n}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1i}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ii}&\cdots &a_{in}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j1}&\cdots &a_{ji}&\cdots &a_{jn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mi}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$ 

这里 ${\displaystyle m\gg n}$ 。

TSQR分解主要依赖于QR分解，有以下三种方法的详细介绍和例子说明，以下将详细比较三种方法的优劣势作用于TS矩阵。

Householder变换

针对Householder变换，其优势在于计算的时间复杂度较低，一次变换可以将一整个列除了首个元素都化成0，但是对数据的依赖度较高，不容易进行并行化计算，但是该方法对于稠密矩阵，相比于以下两种方法，计算效率会更高。

吉文斯旋转

针对吉文斯旋转，其优势在于对于数据的依赖性较低，可以很好的并行化，对于稀疏矩阵有很大的优势。缺点在于其时间复杂度较高，一次只能对两行做吉文斯旋转。

格拉姆-施密特正交化方法

格拉姆-施密特正交化方法对于并行化计算并不友好，它的优势在于算法理解其他直观，时间复杂度介于Householder变换和吉文斯旋转之间。

基本思想

利用矩阵分块的思想，对于TS矩阵进行切割，从而对若干个子块矩阵进行分而治之。

TSQR分解算法

${\displaystyle A_{m\times n}={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &&\vdots &\\a_{i,1}&\cdots &a_{i,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &&\vdots &\\a_{m,n}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$ 

我们将${\displaystyle A_{m\times n}}$ 拆成若干个子矩阵（这里拆成2个）${\displaystyle A_{1}{m_{1}\times n_{1}}}$ 和 ${\displaystyle A_{2}}$ ，${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ 的维度分别是${\displaystyle m_{1}\times n_{1},m_{2}\times n_{2}}$ , 注意拆开的子矩阵要保证行数仍然大于列数，即 ${\displaystyle m_{1}>n_{1},m_{2}>n_{2}}$ 。

我们分别对${\displaystyle A_{1}}$ 和 ${\displaystyle A_{2}}$ 做QR分解。

${\displaystyle A_{1}=Q_{1}R_{1}}$ 

${\displaystyle A_{2}=Q_{2}R_{2}}$ 

此时的QR分解是完全可以并行的。 我们再将${\displaystyle R_{1},R_{2}}$ 合并并惊醒QR分解

${\displaystyle {\hat {R}}={\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\end{bmatrix}}=Q_{11}{\begin{bmatrix}R_{11}\\0\end{bmatrix}}}$ 

此时的 ${\displaystyle R_{11}}$  便是我们所需要的最后分解所得的 ${\displaystyle R}$ 。

例子

我们现在需要分解如下矩阵

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&3&1\\0&4&-2\\2&1&1\\1&2&4\\0&0&5\\0&3&6\\\end{bmatrix}}}$ 

现在将其分解成两个矩阵${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ ，并对其做相应的QR分解。

${\displaystyle A_{1}=Q_{1}R_{1}={\begin{bmatrix}0&3&-4\\0&4&3\\5&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&1&2\\0&5&-1\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle A_{2}=Q_{2}R_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&4\\0&3&6\\0&0&5\\\end{bmatrix}}}$ 

那么

${\displaystyle {\hat {R}}={\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1&2\\0&5&-1\\0&0&-2\\1&2&4\\0&3&6\\0&0&5\\\end{bmatrix}}}$ 

我们对${\displaystyle {\hat {R}}}$ 进行QR分解，

${\displaystyle {\hat {R}}=Q_{11}R_{11}=Q_{11}}$ 

${\displaystyle R=Q_{11}={\begin{bmatrix}-2.2360&-1,7888&-3.5777\\0&-5.9833&-2.7743\\0&0&8.0933\\\end{bmatrix}}}$ 

优势

上述的TSQR和普通的QR分解的优势在于:

1）不同于QR分解，此类的QR分解是可以高度并行化的；

2）在并行阶段，其特殊的上三角形式也可以用并行的方式进行加速。

快速求解奇异值分解（SVD）

对于一个TS矩阵${\displaystyle A_{m\times n}}$ 求解其SVD，我们可以先对矩阵${\displaystyle A}$ 做TSQR分解。那么

${\displaystyle A=QR}$ 

我们在对${\displaystyle R}$ 做SVD分解 ,相比于直接做SVD，这样做的好处在于${\displaystyle R}$ 的维度是 ${\displaystyle n\times n}$ , 所以速度会快很多。

${\displaystyle R={\tilde {U}}\Sigma V}$ 

所以最后只需要${\displaystyle U}$ 计算

${\displaystyle U=Q{\tilde {U}}}$ 

就可以得到所有的特征量向量

^[1]

^[2]

^[3]

^[4]

1. ^ M. Anderson; G. Ballard, J. Demmel and K. Keutzer. Communication-Avoiding QR Decomposition for GPUs. 2011 IEEE International Parallel & Distributed Processing Symposium: 48–58. 2011. doi:10.1109/IPDPS.2011.15.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. ^ MIT. QR Decomposition. [2020-07-01]. （原始内容存档于2020-07-27）. 
3. ^ N.-Y. Cheng and M.-S. Chen. Exploring Dual-Triangular Structure for Efficient R-initiated Tall-skinny QR on GPGPU. Pacific-Asia Conf. on Knowledge Discovery and Data Mining. April 14-17, 2019.  请检查|date=中的日期值 (帮助)
4. ^ A. Rafique, N. Kapre and G. A. Constantinides. Enhancing performance of Tall-Skinny QR factorization using FPGAs. International Conference on Field Programmable Logic and Applications: 443–450.