当德兰-格拉夫方法当德兰-格拉夫方法(英语:Graeffe’s method;德语:Dandelin-Gräffe-Verfahren)是求多项式根的数值方法之一,由几位18世纪数学家Karl Heinrich Gräffe、Germinal Pierre Dandelin和罗巴切夫斯基分别独立提出。 设欲解的方程为 p ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) . . . ( x − x n ) {\displaystyle p(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})} p ( − x ) = ( − 1 ) n ( x + x 1 ) ( x + x 2 ) . . . ( x + x n ) {\displaystyle p(-x)=(-1)^{n}(x+x_{1})(x+x_{2})...(x+x_{n})} p 2 ( x 2 ) = p ( x ) p ( − x ) = ( − 1 ) n ( x 2 − x 1 2 ) ( x 2 − x 2 2 ) . . . ( x 2 − x n 2 ) {\displaystyle p_{2}(x^{2})=p(x)p(-x)=(-1)^{n}(x^{2}-x_{1}^{2})(x^{2}-x_{2}^{2})...(x^{2}-x_{n}^{2})} 重复类似的步骤 k {\displaystyle k} 次,可得以 x 1 2 k , x 2 2 k . . . {\displaystyle x_{1}^{2^{k}},x_{2}^{2^{k}}...\,\!} 为根的方程 q {\displaystyle q} ,设 y = x 2 k {\displaystyle y=x^{2^{k}}\,\!} 。 q ( y ) = y n + a 1 y n − 1 + . . . + a n {\displaystyle q(y)=y^{n}+a_{1}y^{n-1}+...+a_{n}} 根据韦达定理: a 1 = − ( y 1 + y 2 + . . . + y n ) {\displaystyle a_{1}=-(y_{1}+y_{2}+...+y_{n})} a 2 = y 1 y 2 + y 1 y 3 + . . . + y n − 1 y n {\displaystyle a_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+...+y_{n-1}y_{n}} ...若经过多次自乘后,这些根相差得足够大,使得: a 1 ≈ − y 1 {\displaystyle a_{1}\approx -y_{1}} a 2 ≈ y 1 y 2 {\displaystyle a_{2}\approx y_{1}y_{2}} ...对每个 y i {\displaystyle y_{i}} 求 2 k {\displaystyle 2^{k}} 次根便可求得 p ( x ) {\displaystyle p(x)} 的根。 这个方法有缺点包括: 经过数次的步骤,双倍精确数目可能也不足以储存要用到的数值,误差颇大。 如果有复数根或重根就更繁复。外部链接 Tangent Graeffe Iteration