矩阵多项式

矩阵多项式数学矩阵论里的概念,指由方块矩阵作为不定元的多项式,或由方块矩阵作为变量多项式函数

定义

给定自然数n、系数 以及n阶方块矩阵A,一个关于矩阵Ad次的矩阵多项式通常写作:

 

其中的 都是系数环 中的元素。这其实是可以看作将 中的多项式:

 

中的不定元 换成了一个n阶方块矩阵A后得到的结果。P(A)A一样,也是一个n阶方块矩阵。

性质

给定一个n阶方块矩阵A,如果一个非零多项式 满足: ,则称多项式f是矩阵A零化多项式。根据开莱-哈密尔顿定理特征多项式 满足 ,所以 是一个零化多项式。所有零化多项式中次数最低的称为A最小多项式,记作 。所有关于A的矩阵多项式Q都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于 的多项式。事实上,存在多项式 ,使得:

 

并且其中R的次数严格小于 的次数。所以:

 

参见

参考来源