矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念,指由方块矩阵作为不定元的多项式,或由方块矩阵作为变量的多项式函数。
定义
给定自然数n、系数环 以及n阶方块矩阵A,一个关于矩阵A的d次的矩阵多项式通常写作:
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其中的 都是系数环 中的元素。这其实是可以看作将 中的多项式:
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中的不定元 换成了一个n阶方块矩阵A后得到的结果。P(A)和A一样,也是一个n阶方块矩阵。
性质
给定一个n阶方块矩阵A,如果一个非零多项式 满足: ,则称多项式f是矩阵A的零化多项式。根据开莱-哈密尔顿定理,特征多项式 满足 ,所以 是一个零化多项式。所有零化多项式中次数最低的称为A的最小多项式,记作 。所有关于A的矩阵多项式Q都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于 的多项式。事实上,存在多项式 ,使得:
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并且其中R的次数严格小于 的次数。所以:
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参见
参考来源