径向基函数核

在机器学习中，（高斯）径向基函数核（英语：Radial basis function kernel），或称为RBF核，是一种常用的核函数。它是支持向量机分类中最为常用的核函数。^[1]

关于两个样本x和x'的RBF核可表示为某个“输入空间”（input space）的特征向量，它的定义如下所示：^[2]

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\exp \left(-{\frac {||\mathbf {x} -\mathbf {x'} ||_{2}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \textstyle ||\mathbf {x} -\mathbf {x'} ||_{2}^{2}}$可以看做两个特征向量之间的平方欧几里得距离。${\displaystyle \sigma }$是一个自由参数。一种等价但更为简单的定义是设一个新的参数${\displaystyle \gamma }$，其表达式为${\displaystyle \textstyle \gamma ={\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}}}$：

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\exp(-\gamma ||\mathbf {x} -\mathbf {x'} ||_{2}^{2})}$

因为RBF核函数的值随距离增大而减小，并介于0（极限）和1（当x = x'的时候）之间，所以它是一种现成的相似性度量表示法。^[2] 核的特征空间有无穷多的维数；对于${\displaystyle \sigma =1}$，它的展开式为：^[3]

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{2}}||\mathbf {x} -\mathbf {x'} ||_{2}^{2}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x'} )^{j}}{j!}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}||\mathbf {x} ||_{2}^{2}\right)\exp \left(-{\frac {1}{2}}||\mathbf {x'} ||_{2}^{2}\right)}$