米斯拉-格里斯边着色算法
米斯拉-格里斯边着色算法是图论算法的一种，能够在多项式时间内找到任意图的一种边着色方案。这种着色算法最多使用种颜色，是该图节点的最大度数。这对于一些图而言是最优的，根据Vizing定理，最坏情况下，这种算法给出的结果比最优值多使用一种颜色。
该算法由Jayadev Misra和戴维·格里斯在1992年首次提出[1]，是对Béla Bollobás提出的一种算法的简化。[2]
对于边着色问题，该算法是已知最快的“几乎最优”算法。时间复杂度为。更小的时间复杂度在1985年Gabow等的一篇科技报告中提出，但从未被发表。[3]
总体上来说，最优边着色问题是NP完全的，所以很可能并不存在多项式时间内的算法。同时也有指数级的算法给出了该问题的最优解。
扇
对于一种颜色x，如果c(u,z) ≠ x 对于所有的 (u,z) E(G) : z≠v均成立，则称这种颜色x对于边(u, v)未被使用。
顶点u的一个扇(Fan)是一个顶点序列，记为F[1:k]，该序列满足以下条件：
- F[1:k]是一个包含u的部分或全部邻居节点的非空序列
- (F[1],u) E(G) 未被着色
- F[i+1] 与u 的连边的颜色对于 F[i] 未被使用，1 ≤ i < k
给定一个扇F，任意边(F[i], X)，1 ≤ i ≤ k 是扇的一条边(Fan edge)。令 c 和 d 是两种颜色，一个 cdX 路径是一个经过节点X的，由只包含颜色 c 和 d 的边组成的路径，而且是最大的（即，不能添加任何边到这个路径中，否则就会包含颜色不为 c 或 d 的边）。注意到对于任意节点 X ，只会存在一条这样的边，因为每种颜色最多只有一条边与给定的节点邻接。
扇的旋转
给定对于节点X的一个扇 F[1:k] ，旋转操作进行以下操作：
- c(F[i],X) = c(F[i+1],X)
- 除去 F[k] 到 u 的边的颜色
这种旋转进行后着色仍然有效，因为对于任意 i ，c(F[i + 1], X)对(F[i], X)未被使用。
路径的翻转
操作“翻转 cdX 路径”将该路径上的每个颜色为 c 的边改变为 d ，每个颜色为 d 的边改变颜色为 c 。如果X处于路径的末端，则翻转操作能够释放节点X上的一种颜色：如果 X 与 c 而非 d 相邻，现在会变成与 d 而非 c 相邻，把颜色 c 释放出来，可以给其他与 X 邻接的边。这一翻转操作不会改变着色的有效性，因为对于路径末端的节点，只会有 c 或 d 中的一种颜色，而对于边上的其他节点，翻转操作只是交换了边的颜色，并未增加新颜色。
算法
输入: 图 G.
输出: 对于图 G 的边的一个合适染色方案
令 U := E(G)
while U ≠ ∅ do
- 令 (u,v) 是 U 的任意一条边。
- 令 F[1:k] 是 u 的一个最大扇，且 F[1]=v.
- 令 c 是对于 u 未被使用的一种颜色，d 是对于 F[k] 未被使用的一种颜色.
- 翻转 cdu 路径
- 令 w ∈ V(G) 使得 w ∈ F, F'=[F[1]...w] 是一个扇，且颜色 d 对于 w 未被使用。
- 旋转扇 F' 并设置 c(u,w)=d.
- U := U - {(u,v)}
end while
参考文献
- ^ Misra, Jayadev; Gries, David. A constructive proof of Vizing's theorem (PDF). Information Processing Letters. 1992, 41 (3): 131–133 [2015-01-17]. doi:10.1016/0020-0190(92)90041-S. （原始内容 (PDF)存档于2015-09-23）.
- ^ Bollobás, Béla. Graph theory. Elsevier. 1982: 94.
- ^ Gabow, Harold N.; Nishizeki, Takao; Kariv, Oded; Leven, Daniel; Terada, Osamu, Algorithms for edge-coloring graphs, Tech. Report TRECIS-8501, Tohoku University, 1985