二分查找算法

二分搜索只对有序数组有效。二分搜索先比较数组中位元素和目标值。如果目标值与中位元素相等，则返回其在数组中的位置；如果目标值小于中位元素，则搜索继续在前半部分的数组中进行。如果目标值大于中位元素，则搜索继续在数组上部分进行。由此，算法每次排除掉至少一半的待查数组。

步骤

给予一个包含${\displaystyle n}$ 个带值元素的数组${\displaystyle A}$ 或是记录${\displaystyle A_{0},\cdots ,A_{n-1}}$ ，使${\displaystyle A_{0}\leq \cdots \leq A_{n-1}}$ ，以及目标值${\displaystyle T}$ ，还有下列用来查找${\displaystyle T}$ 在${\displaystyle A}$ 中位置的子程序^[3]。

1. 令${\displaystyle L}$ 为${\displaystyle 0}$ ，${\displaystyle R}$ 为${\displaystyle n-1}$ 。
2. 如果${\displaystyle L>R}$ ，则查找以失败告终。
3. 令${\displaystyle m}$ （中间值元素）为${\displaystyle \lfloor (L+R)/2\rfloor }$ 。（具体实现中，为防止算术溢出，一般采用${\displaystyle \lfloor L+(R-L)/2\rfloor }$ 代替。）
4. 如果${\displaystyle A_{m}<T}$ ，令${\displaystyle L}$ 为${\displaystyle m+1}$ 并回到步骤二。
5. 如果${\displaystyle A_{m}>T}$ ，令${\displaystyle R}$ 为${\displaystyle m-1}$ 并回到步骤二。
6. 当${\displaystyle A_{m}=T}$ ，查找结束；回传值${\displaystyle m}$ 。

这个迭代步骤会持续透过两个变量追踪搜索的边界。有些实际应用会在算法的最后放入相等比较，让比较循环更快，但平均而言会多一层迭代^[4]。

大致匹配

以上程序只适用于完全匹配，也就是查找一个目标值的位置。不过，因为有序数组的顺序性，将二分搜索算法扩展到能适用大致匹配并不是很重要。举例来说，二分搜索算法可以用来计算一个赋值的排名（或称秩，比它更小的元素的数量）、前趋（下一个最小元素）、后继（下一个最大元素）以及最近邻。查找两个值之间的元素数目的范围查询（英语：Range query (data structures)）可以借由两个排名查询（又称秩查询）来执行^[5]。

• 排名查询可以使用调整版的二分搜索来执行。借由在成功的搜索回传${\displaystyle m}$ ，以及在失败的搜索回传${\displaystyle L}$ ，就会取而代之地回传了比起目标值小的元素数目^[5]。
• 前趋和后继查询可以借由排名查询来执行。一旦知道目标值的排名，其前趋就会是那个位于其排名位置的元素,或者排名位置的上一个元素（因为它是小于目标值的最大元素）。其后继是（数组中的）下一个元素，或是（非数组中的）前趋的下一个元素^[6]。目标值的最近邻可能是前趋或后继，取决于何者较为接近。
• 范围查询也是直接了当的。一旦知道两个值的排名，不小于第一个值且小于第二个值的元素数量就会是两者排名的差。这个值可以根据范围的端点是否算在范围内，或是数组是否包含其端点的对应键来增加或减少1^[7]。

时间复杂度

折半搜索每次把搜索区域减少一半，时间复杂度为${\displaystyle O\left(\log n\right)}$ 。（n代表集合中元素的个数）

空间复杂度

${\displaystyle O\left(1\right)}$ 。虽以递归形式定义，但是尾递归，可改写为循环。

除直接在一个数组中查找元素外，可用在插入排序中。

C 版本- 递归

int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {
	if (start > end)
		return -1;

	int mid = start + (end - start) / 2;    //直接平均可能會溢位，所以用此算法
	if (arr[mid] > khey)
		return binary_search(arr, start, mid - 1, khey);
	else if (arr[mid] < khey)
		return binary_search(arr, mid + 1, end, khey);
	else
	    return mid;        //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於
}

C 版本- while 循环

int binary_search(const int arr[], int start, int end, int key) {
    int ret = -1;       // 未搜索到数据返回-1下标
    
	int mid;
	while (start <= end) {
		mid = start + (end - start) / 2; //直接平均可能會溢位，所以用此算法
		if (arr[mid] < key)
			start = mid + 1;
		else if (arr[mid] > key)
			end = mid - 1;
		else {            // 最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於
			ret = mid;  
            break;
        }
	}
	
	return ret;     // 单一出口
}

javascript 版本

var arr = [1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 19, 20];
const binarySearch = (arr, target) => {
  const search = (start, end) => {
    if (start > end) return -1;
    const mid = start + Math.floor((end - start) / 2);
    if (arr[mid] > target) {
      return search(0, mid - 1);
    } else if (arr[mid] < target) {
      return search(mid + 1, end);
    } else {
      return mid;
    }
  }
  return search(0, arr.length - 1);
}
console.log( binarySearch(arr, 4) );

Python3 版本 while 循环

def binary_search(arr, left, right, hkey):
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if arr[mid] == hkey:
            return mid
        elif arr[mid] < hkey:
            left = mid + 1
        elif arr[mid] > hkey:
            right = mid - 1
    return -1

Python3 版本 递归

def binary_search(arr, start, end, hkey):
	if start > end:
		return -1
	mid = start + (end - start) // 2
	if arr[mid] > hkey:
		return binary_search(arr, start, mid - 1, hkey)
	if arr[mid] < hkey:
		return binary_search(arr, mid + 1, end, hkey)
	return mid

C# 版本

static int binary_search(int[] arr, int start, int end, int khey)
{
    int mid;
    while (start <= end)
    {
        mid = (start + end) / 2;
        if (arr[mid] < khey)
            start = mid + 1;
        else if (arr[mid] > khey)
            end = mid - 1;
        else
            return mid; 
    }
    return -1;
}

1. this is c++

Swift 版本

import Foundation
/// 二分搜索完全匹配
///
/// - Parameters:
///   - arr: 有序数组
///   - start: 起始位置
///   - end: 结束点
///   - khey: 特点目标值
/// - Returns: 返回查找结果
func binarySearch(arr: [Int], start: Int, end: Int, khey: Int) -> Int? {
    if start > end {
        return nil
    }
    let mid = start + (end - start) / 2
    if arr[mid] > khey {
        return binarySearch(arr: arr, start: start, end: mid - 1, khey: khey)
    } else if arr[mid] < khey {
        return binarySearch(arr: arr, start: mid + 1, end: end, khey: khey)
    } else {
        return mid
    }
}

golang 递归版本

func binary_search(arr []int, low, high, hkey int) int {
	if low > high {
		return -1
	}
	mid := low + (high-low)/2

	if arr[mid] > hkey {
		return binary_search(arr, low, mid-1, hkey)
	} else if arr[mid] < hkey {
		return binary_search(arr, mid+1, high, hkey)
	}

	return mid
}

golang 非递归版本

func binarySearch(arr []int, hkey int) int {
    low, high := 0, len(arr)-1
	for low <= high {
		mid := low + (high-low)/2
		if arr[mid] == hkey {
			return mid
		} else if hkey < arr[mid] {
			high = mid - 1
		} else if hkey > arr[mid] {
			low = mid + 1
		}
	}
	return -1
}

Java 递归

public static int binarySearch(int[] arr, int start, int end, int hkey){
    if (start > end)
        return -1;

    int mid = start + (end - start)/2;    //防止溢位
    if (arr[mid] > hkey)
        return binarySearch(arr, start, mid - 1, hkey);
    if (arr[mid] < hkey)
        return binarySearch(arr, mid + 1, end, hkey);
    return mid;  

}

Java while 循环

public static int binarySearch(int[] arr, int start, int end, int hkey){
    int result = -1;

    while (start <= end){
        int mid = start + (end - start)/2;    //防止溢位
        if (arr[mid] > hkey)
            end = mid - 1;
        else if (arr[mid] < hkey)
            start = mid + 1;
        else {
            result = mid ;  
            break;
        }
    }

    return result;

}

Julia (编程语言)

# Julia Sample : BinarySearch
function BinarySearch(A,Key)
	left,right = 1,length(A)

	while(left<=right)
		mid=left+floor(Int,((right-left)/2))
	
		if A[mid]==Key
			return mid
		elseif Key<A[mid]
			right = mid-1
		elseif Key>A[mid]
			left = mid+1
		end
	end
	return -1
end

# Main Code
A = [1,3,16,31,43,354,586]   # Already Arrange
println(A)                   # Original Array
println(BinarySearch(A,43))  # BinarySearch Search Array
println(BinarySearch(A,354)) # BinarySearch Search Array
println(BinarySearch(A,3))   # BinarySearch Search Array

在1946年，约翰·莫奇利在摩尔学院讲座（英语：Moore School Lectures）上第一次提出二分搜索的概念。^[8]1957年，威廉·皮特逊（英语：William Wesley Peterson）发表了第一个应用插值搜索的算法^[8][9]。在此时，每个发表的二分搜索算法只对长度为2的幂减一的数组有用。^[10]直到1960年，德里克·亨利·莱默发表了一个对于所有长度的数组都适用的算法^[11]。1962年，赫尔曼·博滕布鲁赫发表了一个用ALGOL 60写的二分搜索，将判断相等的步骤放到算法末尾。虽然将平均迭代次数增加一，但是每次迭代中的比较次数减少了1次。^[12]均匀二分搜索则是史丹佛大学的A. K.钱德拉在1971年发明的^[8]。1986年，伯纳德·查泽尔和列奥尼达斯·吉巴斯引入了分散层叠来解决计算几何中大量存在的搜索问题^[13][14][15]。

尽管二分查找的基本思想相对简单，但细节可以令人难以招架 ... — 高德纳^[2]

当乔恩·本特利将二分搜索问题布置给专业编程课的学生时，百分之90的学生在花费数小时后还是无法给出正确的解答，主要因为这些错误程序在面对边界值的时候无法运行，或返回错误结果。^[16]1988年开展的一项研究显示，20本教科书里只有5本正确实现了二分搜索。^[17]不仅如此，本特利自己1986年出版的《编程珠玑》一书中的二分搜索算法存在整数溢出的问题，二十多年来无人发现。Java语言的库所实现的二分搜索算法中同样的溢出问题存在了九年多才被修复。^[18]

• NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures: binary search（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Google Research: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Binary search implemented in 12 languages（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• 程序员编程艺术第二十五章：Jon Bentley：90%无法正确实现二分查找（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://leetcode.com/explore/learn/card/binary-search（页面存档备份，存于互联网档案馆）