时间序列

时间序列是用时间排序的一组随机变量，国内生产毛额（GDP）、消费者物价指数（CPI）、加权股价指数、利率、汇率等等都是时间序列。

时间序列的时间间隔可以是分秒（如高频金融数据），可以是日、周、月、季度、年、甚至更大的时间单位。

时间序列是计量经济学所研究的三大数据形态（另两大为横截面数据和面板数据）之一，在总体经济学、国际经济学、金融学、金融工程学等学科中有广泛应用。

• 非平稳性（nonstationarity，也译作不平稳性，非稳定性）：即时间序列的方差无法呈现出一个长期趋势并最终趋于一个常数或是一个线性函数
• 波动幅度随时间变化（Time－varying Volatility）：即一个时间序列变量的方差随时间的变化而变化

这两个特征使得有效分析时间序列变量十分困难。

平稳型时间数列（Stationary Time Series）系指一个时间数列其统计特性将不随时间之变化而改变者。

1. 假设时间序列变量是从某个随机过程中随机抽取并按时间排列而形成的，因而一定存在一个（狭义）稳定趋势（stationarity），即：平均值是固定的。
2. 假定时间序列变量的波动幅度不随时间改变，即：方差是固定的。但这明显不符合实际，人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的，并非常数。

这两个假设使得传统的计量经济学方法对实际生活中的时间序列变量无法有效分析。克莱夫·格兰杰和罗伯特·恩格尔的贡献解决了这个问题。

克莱夫·格兰杰解决了这个问题。

虽然单独看不同的时间序列变量可能具有非平稳性，但按一定结构组合后的新的时间序列变量却可能是平稳的，即这个新的时间序列变量长期来看，会趋向于一个常数或是一个线性函数。

例如，时间序列变量${\displaystyle X(t)}$ 非平稳，但其d阶差分却可能是平稳的；时间序列变量${\displaystyle X(t)}$ 和${\displaystyle Y(t)}$ 非平稳，但线性组合${\displaystyle X(t)-bY(t)}$ 却可能是平稳的。

分析非平稳的时间序列变量，可从寻找结构关系入手（例如寻找上述常数b），把非平稳的时间序列平稳化。

共整合性

克莱夫·格兰杰在1981年一篇论文中引入了“共整合性（英语：cointegration）”这个概念（英语：cointegration，也译作“协整”）。^[1]

如果两个时间序列${\displaystyle X(t)}$ 和${\displaystyle Y(t)}$ 各自有整合阶（英语：Order of integration）${\displaystyle I(x)}$ 和${\displaystyle I(y)}$ ，而将两序列做某种线性组合后的序列${\displaystyle Z(t)}$ 具有更低的“整合阶”：${\displaystyle I(z)<I(x),I(z)<I(y)}$ ，便称这两个时间序列具有“共整合性”。用上一节的例子说明，若常数${\displaystyle b}$ 存在，那么原时间序列${\displaystyle X(t)}$ 和${\displaystyle Y(t)}$ 就具共整合性。

格兰杰和怀思（Weiss）合著的1983年的一篇论文中提出了“格兰杰表述定理”（英语：Granger representation theorem），证明了以一组特定的动态方程可以重新表述具有“共整合性”的时间序列变量（英语：cointegrated variables）之间的动态关系，而这组动态方程更具有经济学含义，从而使得时间序列分析更有效。

罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中提出了ARCH模型，解决了时间序列的方差随时间改变之问题，其中他研究的是英国通货膨胀率的波动性。

ARCH模型

ARCH模型（英语：Autoregressive conditional heteroskedasticity model，自回归条件异方差模型）能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中也应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是被广泛应用的工具。

• 既考虑了观测数据在时间序列上的依存性，又考虑了随机波动的干扰。

• 计量经济学
• ARCH模型
• 风险价值
• ARIMA模型

• A Professional Environment for Time Series and Signal Analysis