法诺共振

法诺线形的解释首次出现在电子与氦的非弹性散射与自离子化中，入射电子将氦双激发至2s2p态，形成某种的形状共振。双激发的氦原子射出一个激发电子后自动衰变。法诺证明入射电子的散射振幅与自离子化电子的散射振幅间的干涉，会在自离子化的能量附近形成非对称的散射线形，峰的宽度与自离子化的半衰期的倒数十分接近。

法诺共振的线形来自于两个散射振幅的干涉，一个是连续态的散射（与背景相关），另一个则是离散态的激发（与共振相关）。共振态的能量必须处于连续态（即背景）的能量范围，此效应才会发生。在共振能量附近，背景散射的振幅随着能量的变化通常很和缓；但共振散射的振幅的幅度及相位，变化都相当的快，从而导致了非对称的发生。 在能量离共振能量很远时，背景散射占主要地位。能量在共振能量左右${\displaystyle 2\Gamma _{\mathrm {res} }}$ 的范围时，共振散射的振幅相位会差${\displaystyle \pi }$ 。就是这个相位的剧烈变化造成了非对称的线形。 法诺证明散射的总截面${\displaystyle \sigma }$ 约为下述形式，

${\displaystyle \sigma \approx {\frac {\left(q\Gamma _{\mathrm {res} }/2+E-E_{\mathrm {res} }\right)^{2}}{\left(\Gamma _{\mathrm {res} }/2\right)^{2}+\left(E-E_{\mathrm {res} }\right)^{2}}}}$ 

其中${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {res} }}$ 为共振能量的峰宽，q则为法诺变量，代表着共振散射及直接（背景）散射之间的振幅比例。如果直接散射的振幅消失，q会变成无穷大，法诺公式就会回到一般的劳仑兹曲线，

${\displaystyle {\frac {\left(\Gamma _{\mathrm {res} }/2\right)^{2}}{\left(\Gamma _{\mathrm {res} }/2\right)^{2}+\left(E-E_{\mathrm {res} }\right)^{2}}}}$ 。

法诺共振的例子有很多，在很多领域都能找到，比如原子物理学，核物理学，凝聚态物理，电路，微波工程，非线性光学和纳米光子学。