递归

1. 从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？‘从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？……’”
2. 一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓志铭，让未来的狗可以看到：“一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓志铭，让未来的狗可以看到：‘一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓志铭，让未来的狗可以看到……’”
3. 大雄在房里，用时光电视看着从前的情况。电视画面中的那个时候，他正在房里，用时光电视，看着从前的情况。电视画面中的电视画面的那个时候，他正在房里，用时光电视，看着从前的情况……

在数学和计算机科学中，递归指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。

例如，下列为某人祖先的递归定义：

• 某人的双亲是他的祖先（基本情况）。
• 某人祖先的双亲同样是某人的祖先（递归步骤）。

斐波那契数列是典型的递归案例：

• ${\displaystyle F_{0}=0}$ （初始值）
• ${\displaystyle F_{1}=1}$ （初始值）
• 对所有大于1的整数n：${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ （递归定义）

尽管有许多数学函数均可以递归表示，但在实际应用中，递归定义的高开销往往会让人望而却步。例如：

• ${\displaystyle 0!=1}$ （初始值）
• 对所有大于0的整数n：${\displaystyle n!=n\times (n-1)!}$ （递归定义）

一种便于理解的心理模型，是认为递归定义对对象的定义是按照“先前定义的”同类对象来定义的。例如：你怎样才能移动100个箱子？答案：你首先移动一个箱子，并记下它移动到的位置，然后再去解决较小的问题：你怎样才能移动99个箱子？最终，你的问题将变为怎样移动一个箱子，而这时你已经知道该怎么做的。

如此的定义在数学中十分常见。例如，集合论对自然数的正式定义是：1是一个自然数，每个自然数都有一个后继，这一个后继也是自然数。

以下是另一个可能更有利于理解递归过程的解释：

1. 我们已经完成了吗？如果完成了，返回结果。如果没有这样的终止条件，递归将会永远地继续下去。
2. 如果没有，则简化问题，解决较容易的问题，并将结果组装成原始问题的解决办法。然后返回该解决办法。

这样就有一种更有趣的描述：“为了理解递归，则必须首先理解递归。”或者更准确地，按照安德鲁·普洛特金（英语：Andrew Plotkin）的解释：“如果你已经知道了什么是递归，只需记住答案。否则，找一个比你更接近侯世达的人；然后让他／她来告诉你什么是递归。”^[1]

数学中常见的以递归形式定义的案例参见函数、集合以及分形等。

举例：编写一个程序使用递归求n的阶乘：

fac 0 = 1
fac n = n * fac (n-1)

main = print( fac 10 )

递归定义集

实例：自然数

关于递归定义集的经典示例，可透过自然数来说明：

${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$ 

若${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ， 则${\displaystyle n+1\in \mathbb {N} }$ 

满足上述两个条件之最小集合，即为自然数集合

实例：可导出的命题集合

另一个有趣示例为，公理系统中，所有可导出命题之集合

• 若一个命题为公理，则其为可导出之命题
• 透过推理规则方式，若一个命题可以从可导出之命题所推论，则其为可导出之命题
• 满足上述条件之最小集合，为可导出之命题之集合

此集合称为，可导出之命题之集合，因为在数学基础方法中，依非创建性法构建的命题之集合，可能大于由公理系统及推理规则所递归构建出之集合，详细请参见 哥德尔不完备定理

有限次分割法

有限次分割法为几何形式之递归，可用以创建类分形之图案。次分割原则的运作如后所述，从多个已被有限个标签标注的多边形开始，接着每个多边形仅根据其标签，继续细切到更小的多边形，此一细切的过程可不断重复。

• 分形
• 差分
• 递推关系式
• 塔珀自指公式
• 无限反射镜

脚注

1. ^ 原文：“If you already know what recursion is, just remember the answer. Otherwise, find someone who is standing closer to Douglas Hofstadter than you are; then ask him or her what recursion is.”

书目

• Johnsonbaugh, Richard. Discrete Mathematics. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-117686-2. 
• Hofstadter, Douglas. Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Basic Books. 1999. ISBN 0-465-02656-7. 
• Shoenfield, Joseph R. Recursion Theory. A K Peters Ltd. 2000. ISBN 1-56881-149-7. 
• Causey, Robert L. Logic, Sets, and Recursion. Jones & Bartlett. 2001. ISBN 0-7637-1695-2. 
• Cori, Rene; Lascar, Daniel; Pelletier, Donald H. Recursion Theory, Godel's Theorems, Set Theory, Model Theory. Oxford University Press. 2001. ISBN 0-19-850050-5. 
• Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. Vicious Circles. Stanford Univ Center for the Study of Language and Information. 1996. ISBN 0-19-850050-5.  - offers a treatment of corecursion.
• Rosen, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill College. 2002. ISBN 0-07-293033-0. 
• Cormen, Thomas H., Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Introduction to Algorithms. Mit Pr. 2001. ISBN 0-262-03293-7. 
• Kernighan, B.; Ritchie, D. The C programming Language. Prentice Hall. 1988. ISBN 0-13-110362-8. 
• Stokey, Nancy,; Robert Lucas; Edward Prescott. Recursive Methods in Economic Dynamics. Harvard University Press. 1989. ISBN 0674750969. 

• Recursion - tutorial by Alan Gauld
• A Primer on Recursion （页面存档备份，存于互联网档案馆）- contains pointers to recursion in Formal Languages, Linguistics, Math and Computer Science
• Google easter for recursion （页面存档备份，存于互联网档案馆）