半指数函数

在数学上，半指数函数（Half-exponential function）是指数函数的函数平方根（英语：Functional square root）；换句话说，若 $f$ 是一个半指数函数，则 $f$ 与自己的复合函数会是一个指数函数：^[1]^[2]

f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},

其中

a

与

b

.是常数。

解析解的不存在性

假若以加减乘除等标准算数运算、指数、对数及实数常数等来表达一个函数 $f$ ，那么 $f{\bigl (}f(x){\bigr )}$ 要不就是次指数的，要不就是超指数的，^[3]因此哈代L-函数（英语：Hardy field）不可能是半指数函数。

建构

有无限多的函数，其半复合函数是与彼此相同的指数函数；特别地，对于任意位于开区间 $(0,1)$ 当中的数 $A$ 及任意从 $[0,A]$ 映至 $[A,1]$ 的严格递增满射连续函数 $g$ 而言，都存在作为这函数扩张的严格递增连续实数函数 $f$ ，使得 $f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x$ .^[4]，而这 $f$ 是以下函数方程的唯一解：

f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}

半指数函数的例子

一个简单的、使得 $f$ 处处有连续一阶导数例子，是设 $A={\tfrac {1}{2}}$ 且 $g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}$ ，而这会得到下式：

f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}-\log _{e}2\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}

应用

半指数函数出现于计算复杂性理论当中，在其中半指数成长率是介于多项式成长率与指数成长率“之间”的一种成长速率。^[2]若一个函数 $f$ 的成长率至少与半指数函数一样快（也就是这函数与自身的复合函数的成长率是指数函数），就表示说这函数是非递减的，且对于任意 $C>0$ 而言，有 $f^{-1}(x^{C})=o(\log x)$ 。^[5]

参见

迭代函数
施罗德方程式（英语：Schröder's equation）
阿贝尔方程式（英语：Abel equation）

参考资料

^ Kneser, H. Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ und verwandter Funktionalgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1950, 187: 56–67. MR 0035385.
^ ^2.0 ^2.1 Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu. Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin{-}Ichi; Tokuyama, Takeshi , 编. Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26-28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 1627. Springer: 210–220. 1999. MR 1730337. doi:10.1007/3-540-48686-0_21. |contribution=被忽略 (帮助)
^ van der Hoeven, J. Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics 1888. Springer-Verlag, Berlin. 2006. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. doi:10.1007/3-540-35590-1. . See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.
^ Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. Functional powers near a fixed point. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1988, 132 (2): 520–529. MR 0943525. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7  .
^ Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven. Natural proofs. Journal of Computer and System Sciences. 1997, 55 (1): 24–35. MR 1473047. doi:10.1006/jcss.1997.1494  .

外部链接

[sqrtexp-1] Kneser, H. Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ und verwandter Funktionalgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1950, 187: 56–67. MR 0035385.

[miltersen-2] 2.0 ^2.1 Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu. Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin{-}Ichi; Tokuyama, Takeshi , 编. Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26-28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 1627. Springer: 210–220. 1999. MR 1730337. doi:10.1007/3-540-48686-0_21. |contribution=被忽略 (帮助)

[transseries-3] van der Hoeven, J. Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics 1888. Springer-Verlag, Berlin. 2006. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. doi:10.1007/3-540-35590-1. . See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.

[croneu-4] Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. Functional powers near a fixed point. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1988, 132 (2): 520–529. MR 0943525. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7  .

[razrud-5] Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven. Natural proofs. Journal of Computer and System Sciences. 1997, 55 (1): 24–35. MR 1473047. doi:10.1006/jcss.1997.1494  .

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