下推自动机
在自动机理论中,下推自动机(英语:Pushdown automaton)是使用了包含数据的栈的有限自动机。
综述
下推自动机比有限状态自动机复杂:除了有限状态组成部分外,还包括一个长度不受限制的栈;下推自动机的状态迁移不但要参考有限状态部分,也要参照栈当前的状态;状态迁移不但包括有限状态的变迁,还包括一个栈的出栈或入栈过程。下推自动机可以形象的理解为,借由加上读取一个容量无限栈的能力,扩充一个能做 -转移的非确定有限状态自动机。
下推自动机存在“确定”与“非确定”两种形式,两者并不等价。(对有限状态自动机两者是等价的)
每一个下推自动机都接受一个形式语言。被“非确定下推自动机”接受的语言是上下文无关语言。
如果我们把下推自动机扩展,允许一个有限状态自动机存取两个栈,我们得到一个能力更强的自动机,这个自动机与图灵机等价。
下推自动机作为一个形式系统最早于1961年出现在 Oettinger 的论文中。它与上下文无关文法的等价性是由乔姆斯基于1962年发现的。
形式定义
PDA 形式定义为 6-元组:
这里的
- 是状态的有限集合
- 是输入字母表的有限集合
- 是栈字母表的有限集合
- : 是转移函数
- 是“开始状态”
- 是“接受状态”的集合
计算定义 1
对于任何 PDA ,计算路径是一个有序的(n+1)-元组 ,这里的 ,它满足如下条件:
(i) 对于 i = 0, 1, 2,......, n-1,
- 这里的
(ii) 使得
在直觉上,PDA 在计算过程中任何一点上都面对着多种可能性,从栈顶读一个符号并把它替代为另一个符号,从栈顶读一个符号并删除它而不替换,不从栈顶读任何符号但压入另一个符号进去,或什么都不做。所有这些都同时由等式 和 来支配。 是紧接在第 i+1 次转移移动之前的栈内容,而 是要从栈顶去除的符号。 是紧接在第 i+1 次转移移动之后栈内容,而 是在第 i+1 次转移移动期间要增加到栈上的符号。
和 二者都可以 。
如果 而 ,则 PDA 从栈读一个符号并把它替代为另一个符号。
如果 而 ,则 PDA 从栈读一个符号并删除它而不替换。
如果 而 ,则 PDA 简单的增加一个符号到栈上。
如果 而 ,则 PDA 保持栈不变动。
注意当 n=0 时,计算路径就是单元素集合 。
计算定义 2
对于任何输入 ,M 接受 w,如果存在计算路径 和有限序列 ,使得
(i) 对于每个 i = 0, 1, 2,...m, 都在计算路径上。就是说
- 这里的 使得
(ii) 对于每个 i = 0, 1, 2,...m-1。
- 这里的 和 定义同于计算定义 1。
(iii) ,如果
- 这里的 和 定义同于计算定义 1。
(iv) 且
注意上述定义不提供测试空栈的机制。要这么做你需要在所有计算开始前在栈上写一个特殊符号,使得 PDA 可以在检测到这个符号的时候有效的识别出栈已经空了。形式的说,实现它可通过介入转移 这里的 $ 是特殊符号。
例子
下面是识别语言 的 PDA 的形式描述:
- 对于任何其他状态、输入和栈符号的值。
理解计算过程
下面展示上述 PDA 如何计算不同的输入字符串。
(a) 输入字符串 = 0011
- (i) 写 (q1, , ) (q2, $) 来表示 (q2, $) (q1, , )
- s0 = , s1 = $, t = , a = , b = $
- 设置 r0 = q2
- (ii) (r0, 0, ) = (q2, 0, ) (q2, 0)
- s1 = $, a = , t = $, b = 0, s2 = 0$
- 设置 r1 = q2
- (iii) (r1, 0, ) = (q2, 0, ) (q2, 0)
- s2 = 0$, a = , t = 0$, b = 0, s3 = 00$
- 设置 r2 = q2
- (iv) (r2, 1, 0) = (q2, 1, 0) (q3, )
- s3 = 00$, a = 0, t = 0$, b = , s4 = 0$
- 设置 r3 = q3
- (v) (r3, 1, 0) = (q3, 1, 0) (q3, )
- s4 = 0$, a = 0, t = $, b = , s5 = $
- (vi) (q3, , $) (q4, )
- s5 = $, a = $, t = , b = , s6 =
- 设置 r4 = q4
- 因为 q4 是接受状态,0011 被接受。
- 作为总结,计算路径 = (q1, q2, q2, q2, q3, q3, q4)
- 而 (r0, r1, r2, r3, r4) = (q2, q2, q2, q3, q4)
(b) 输入字符串 = 001
- 计算移动 (i), (ii), (iii), (iv) 将必定同于情况 (a),否则,PDA 在到达 (v) 之前就已经进入死胡同。
- (v) (r3, , a) = (q3, , a)
- 因为 s4 = 0$,要么 a = 要么 a = 0
- 在任何一种情况下, (q3, , a) =
- 因此计算在 r3 = q3 进入死胡同,这不是接受状态。所以 001 被拒绝。
(c) 输入字符串 =
- 设置 r0 = q1, r1 = q1
- (r0, , ) (q1, )
- 因为 q1 是接受状态, 被接受。
广义下推自动机(GPDA)
GPDA 是在一个步骤内写入整个字符串到栈上或从栈上去除整个字符串的 PDA。
GPDA 形式定义为 6-元组
- 这里的 Q, , , q0 和 F 的定义同于 PDA。
- : 是转移函数。
GPDA 的计算规则同于 PDA,除了 ai+1 和 bi+1 现在是字符串而不是符号之外。
GPDA 和 PDA 是等价的,如果一个语言可被一个 PDA 识别,它也可被一个 GPDA 识别,反之亦然。
可以使用下列模拟公式化对 GPDA 和 PDA 的等价性的一个分析式证明:
设 (q1, w, x1x2...xm) (q2, y1y2...yn) 是 GPDA 的转移。
这里的 q1, q2 Q, w , x1x2...xm , m 0, y1y2...yn , n 0。
构造 PDA 的下列转移:
- (q1, w, x1) (p1, )
- (p1, , x2) (p2, )
- (pm-1, , xm) (pm, )
- (pm, , ) (pm+1, yn)
- (pm+1, , ) (pm+2, yn-1)
- (pm+n-1, , ) (q2, y1)
参见
外部链接
- non-deterministic pushdown automaton, on Planet Math.
- JFLAP(页面存档备份,存于互联网档案馆),simulator for several types of automata including nondeterministic pushdown automata
参考书目
- 《自动机理论、语言和计算导引》,John E. Hopcroft,Jeffery D. Ullman,徐美瑞译,洪加威校,科学出版社,1986年
- Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997. ISBN 978-0-534-94728-6. Section 2.2: Pushdown Automata, pp.101–114.