默比乌斯反演公式 “莫比乌斯反演”重定向至此。关于几何上的变换,请见“莫比乌斯变换”。 目录 1 定义 2 一般形式 3 证明 4 参见 定义 假设对于数论函数 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 和 F ( n ) {\displaystyle F(n)} ,有以下关系式: F ( n ) = ∑ d | n f ( d ) {\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)} 则将其默比乌斯反转公式定义为: f ( n ) = ∑ d | n μ ( d ) F ( n d ) {\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)} 这里 μ {\displaystyle \mu } 为默比乌斯函数,定义为: μ ( n ) = { 1 ( − 1 ) k 0 {\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1\\(-1)^{k}\\0\\\end{cases}}} 若 n = 1 {\displaystyle n=1\,} 若 n {\displaystyle n\,} 无平方数因数,且 n = p 1 p 2 . . . . . . p k {\displaystyle n=p_{1}p_{2}......p_{k}\,} 若 n {\displaystyle n\,} 有大于 1 {\displaystyle 1\,} 的平方数因数 一般形式 设 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 及 G ( x ) {\displaystyle G(x)} 为定义在 [ 1 , ∞ ) {\displaystyle [1,\infty )} 上的复值函数并且 G ( x ) = ∑ 1 ⩽ n ⩽ x F ( x n ) {\displaystyle G(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}F\left({\frac {x}{n}}\right)} 则 F ( x ) = ∑ 1 ⩽ n ⩽ x μ ( n ) G ( x n ) {\displaystyle F(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)} 证明 设 ∑ d ∣ n μ ( d ) = [ n = 1 ] {\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)=[n=1]} ,又由于 f ( n ) = ∑ d ∣ n [ n d = 1 ] f ( d ) {\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}[{\frac {n}{d}}=1]f(d)} ,代入得到 f ( n ) = ∑ d ∣ n ∑ m ∣ n d μ ( m ) f ( d ) {\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}\mu (m)f(d)} 。 由于 ∑ d ∣ n ∑ m ∣ n d {\displaystyle \sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}} 的限制条件其实就是 m d ∣ n {\displaystyle md\mid n} ,故等式可以写成: f ( n ) = ∑ m ∣ n μ ( m ) ∑ d ∣ n m f ( d ) = ∑ m ∣ n μ ( m ) F ( n m ) {\displaystyle f(n)=\sum _{m\mid n}\mu (m)\sum _{d\mid {\frac {n}{m}}}f(d)=\sum _{m\mid n}\mu (m)F({\frac {n}{m}})} 。 参见 默比乌斯函数