贝尔特拉米等式

贝尔特拉米等式变分法中的一等式,由贝尔特拉于1868年发现。它所表达的是,若函数u是以下积分的极值

则符合以下微分方程:

L是力学系统中的拉格朗日量,且L并非x显函数,即拉格朗日量并非时间的显函数,那么,贝尔特拉米等式表明其哈密顿量是一守恒能量。

证明

定义共轭动量pL的偏微分

 

欧拉-拉格朗日方程给出

 

 

再定义哈密顿量HL勒壤得转换

 

 

其中第二及第三项相抵,根据p之定义及欧拉-拉格朗日方程,第一及第四项亦相抵,所以给出贝尔特拉米等式:

 

此亦是诺特定理的特例。

应用

L独立于x,则贝尔特拉米等式说明H为一常数:

 

此可用作求欧拉-拉格朗日方程的解,如同用能量守恒律解牛顿力学一样。H为常数给出u的一阶导数方程,而欧拉-拉格朗日方程则为u的二阶导数方程。

例如最速降线问题,求最小化以下积分之曲线:

 

其中,将积分最小化的函数L与时间无关,

 

故此相关之哈密顿量为常数:

 
 

所以前述方程转化为摆线之微分方程。

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