贝尔特拉米等式是变分法中的一等式,由贝尔特拉于1868年发现。它所表达的是,若函数u是以下积分的极值
则符合以下微分方程:
若L是力学系统中的拉格朗日量,且L并非x的显函数,即拉格朗日量并非时间的显函数,那么,贝尔特拉米等式表明其哈密顿量是一守恒能量。
证明
定义共轭动量p为L的偏微分
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则欧拉-拉格朗日方程给出
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即
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再定义哈密顿量H为L之勒壤得转换:
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则
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其中第二及第三项相抵,根据p之定义及欧拉-拉格朗日方程,第一及第四项亦相抵,所以给出贝尔特拉米等式:
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此亦是诺特定理的特例。
应用
若L独立于x,则贝尔特拉米等式说明H为一常数:
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此可用作求欧拉-拉格朗日方程的解,如同用能量守恒律解牛顿力学一样。H为常数给出u的一阶导数方程,而欧拉-拉格朗日方程则为u的二阶导数方程。
例如最速降线问题,求最小化以下积分之曲线:
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其中,将积分最小化的函数L与时间无关,
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故此相关之哈密顿量为常数:
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所以前述方程转化为摆线之微分方程。
外部链接