对称多项式
令 x1, ..., xn 为变量, 定义 k ≥ 1 且 pk(x1, ..., xn) 为k阶 幂和:
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对于k ≥ 0 定义 ek(x1, ..., xn) 为 初等对称多项式,所以
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那么牛顿恒等式可以表示为
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对于所有的n ≥ 1 以及 n ≥k ≥ 1.
另外对于所有k > n ≥ 1.
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我们可以带入前几个k得到前几个式子
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这些方程的形式和正确与否并不取决于变数的数量n,这使得可以在对称函数环中将它们称为恒等式。在这个环之中我们有
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在这里,LHS永远不会为零。这些等式允许以pk递归地表示ei
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一般的,我们有
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对于所有的 n ≥ 1 以及 n ≥k ≥ 1。
另外对于所有k > n ≥ 1。
我们有
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设 .
当 时,我们要证明的式子是
由 ,得
由于 求和得到 故
当 时,我们要证明的式子是
注意到
展开为形式幂级数,得
即
对比两边的 项系数,有 即得.