方法
割线法的最初两个迭代。红色曲线表示函数
f,蓝色曲线表示割线。
割线法由以下的递推关系定义:
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从上式中可以看出,割线法需要两个初始值x0和x1,它们离函数的根越近越好。
方法的推导
给定xn−1和xn,我们作通过点(xn−1, f(xn−1))和(xn, f(xn))的直线,如右图所示。注意这条直线是函数f的割线,或弦。这条割线的点斜式直线方程为:
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我们现在选择xn+1为这条割线的根,因此xn+1满足以下的方程:
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解这个方程,便可以得出割线法的递推关系。
收敛
如果初始值x0和x1离根足够近,则割线法的第n次迭代x收敛于f的一个根。收敛速率为α,其中:
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是黄金比。特别地,收敛速率是超线性的。
这个结果只在某些条件下才成立,例如f是连续的二阶可导函数,且函数的根不是重根。
如果初始值离根太远,则不能保证割线法收敛。