龙格现象

魏尔斯特拉斯逼近定理表明，对于定义在区间${\displaystyle [a,b]}$ 上的每个连续函数${\displaystyle f(x)}$ ，存在一组多项式函数${\displaystyle P_{n}(n=0,1,2,...)}$ ，当n趋向于无穷大时，近似于${\displaystyle [a,b]}$ 上具有一致收敛的${\displaystyle f(x)}$ ，也就是说，

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{a\leq x\leq b}\left|f(x)-P_{n}(x)\right|\right)=0.}$ 

考虑使用通过那些点的${\displaystyle n}$ 次多项式${\displaystyle P_{n}(x)}$ 来插值计算通过函数${\displaystyle f(x)}$ 的${\displaystyle n+1}$ 个等间隔点的情况。自然地，可以从魏尔斯特拉斯的定理中期望使用更多的点将导致${\displaystyle f(x)}$ 的更准确的重构。然而，这组特定的多项式函数${\displaystyle P_{n}(x)}$ 并不能保证具有一致收敛的性质；该定理仅指出存在一组多项式函数，而没有提供找到一个的一般方法。

随着${\displaystyle n}$ 的增加，以这种方式产生的${\displaystyle P_{n}(x)}$ 实际上可能偏离${\displaystyle f(x)}$ ；这通常发生在靠近插值点的端点。这种现象以龙格命名。^[2]

考虑以下龙格函数：

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}\,}$ 

龙格发现如果使用 ${\displaystyle \leq n}$  阶多项式 ${\displaystyle P_{n}(x)}$  在 −1 与 1 之间按照

${\displaystyle x_{i}=-1+(i-1){\frac {2}{n}},\qquad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\}}$ 

这样的等距点x_i 进行插值，那么在接近端点 −1 与 1 的地方插值结果就会出现震荡。

可以证明，在多项式的阶数增高时插值误差甚至会趋向无限大：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty }$ 

使用切比雪夫节点（英语：Chebyshev nodes）代替等距点可以减小震荡，在这种情况下，随着多项式阶次的增加最大误差逐渐减小。这个现象表明高阶多项式通常不适合用于插值。使用分段多项式样条可以避免这个问题。如果要减小插值误差，那么可以增加构成样条的多项式的数目，而不必是增加多项式的阶次。

1. ^ Runge, Carl, Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1901, 46: 224–243.  available at www.archive.org
2. ^ Epperson, James. On the Runge example. Amer. Math. Monthly. 1987, 94: 329–341 [2018-04-27]. doi:10.2307/2323093. （原始内容存档于2020-09-25）. 

• 与正弦基函数吉布斯现象的比较
• 《数值分析》，清华大学出版社，李庆扬等编，书号ISBN 978-7-302-18565-9