非均匀采样

奈奎斯特准则用取样率限制了最大取样频率，若是超出这个频率就会产生混叠。高于取样频率的成分将被重构成低于取样频率的讯号，因而导致重构失真，这样的失真就称为混叠，因为这两个讯号有同样的取样值，重构时并不能主动判断是哪一个成分讯号造成的。同样的状况也出现在数值分析里的频谱法。一般有两个方式可以避免混叠的发生，一是提高取样频率，使之达到最凹讯号频率的两倍以上，意即使之符合奈奎斯特准则。二是引入低通滤波器，通常称为抗混叠滤波器，用以滤除高于最大频率之讯号。

然而，若是将每个取样的时间点前后挪移一点单位，在重构讯号时，由于只有被取样频率的正弦波可以经过取样点，原本会被误重构二个频率均不会经过取样点。暂且不论重构讯号的方式，此法的确可以避免混叠，是为非均匀取样。研究亦有指出，在正确进行非均匀取样的前提下，每一个频率都有对应的取样数值组合，在上述的例子中也显示其抗混叠的效用，意即成功重构是可能的。

最常使用的非均匀采样抗混叠讯号处理法的实作，是引入一串高精度且已知的时间长度，作为取样的间隔。虽然非均匀取样可以解决混叠问题，然实际使用上，包含取样率的上限计算等，与一般均匀取样不全然相同。平均取样率是借由总取样点除以总取样时间得到，最小取样数则在均匀与否的取样皆相同，均匀取样则常常有超过数量的取样点，目的同样是为了防止混叠。

拉格朗日插值法

当有n+1个时间点对应的值是知道的时候，可以建立一个n次多项式来重构此函数。假设这n+1个点为${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ，且其对应的值为${\displaystyle w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}}$ 

以上对应存在一个为一的多项式使得：

${\displaystyle p_{n}(z_{i})=w_{i},{\text{ where }}i=0,1,\ldots ,n.}$ 

而这个多项式可以用以下插值多项式加以简化

${\displaystyle I_{k}(z)={\frac {(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots (z-z_{n})}{(z_{k}-z_{0})(z_{k}-z_{1})\cdots (z_{k}-z_{k-1})(z_{k}-z_{k+1})\cdots (z_{k}-z_{n})}}}$ 

以上式子可表示如下

${\displaystyle I_{k}(z_{j})=\delta _{k,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}k\neq j\\1,&{\text{if }}k=j\end{cases}}}$ 

便可以将前述多项式写成

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}I_{k}(z)}$ 

${\displaystyle p_{n}(z_{j})=w_{j},j=0,1,\ldots ,n}$ 

为了使式子形式更简洁明了，引入以下函数

${\displaystyle G_{n}(z)=(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})}$ 

以下便为拉格朗日插值多项式：

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}{\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}}$ 

令${\displaystyle f(z_{j})=p_{n}(z_{j}),j=0,1,\ldots ,n,}$ 则此多项是又可以写作

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{n}f(z_{k}){\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}}$ 

惠特克–夏农–科特尔尼科夫定理(Whittaker–Shannon–Kotelnikov) (WSK)

惠特克将以上插值多项式的定义拓展到整函数上，他给出了以下插值形式

${\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(a+nW){\frac {\sin[\pi (z-a-nW/W)]}{[\pi (z-a-nW/W)]}}}$ 

当点在${\displaystyle z_{n}=a+nW}$ 时，其函数值与前述${\displaystyle f(z)}$ 相同。

延续前一节的简化，以上整函数形式的插值函数${\displaystyle C_{f}(z)}$ 亦可以简化为

${\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(z_{n}){\frac {G(z)}{G'(z_{n})(z-z_{n})}},{\text{ where }}G(z)=\sin[\pi (z-z_{n})/W]{\text{ and }}z_{n}=a+nW}$ 

当 a=0且W=1时，以上函数与现时定义之WSK理论近几一致：

若一个函数可以以下形式表达

${\displaystyle f(t)=\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{jxt}g(x)\,dx\qquad (t\in \mathbb {R} ),\qquad \forall g\in L^{2}(-\sigma ,\sigma ),}$ 

则此函数可以借由以下方式重构

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {k\pi }{\sigma }}\right){\frac {\sin(\sigma t-k\pi )}{\sigma t-k\pi }}\qquad (t\in \mathbb {R} )}$ 

非均匀采样

若存在一序列${\displaystyle \{t_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ 满足以下条件

${\displaystyle D=\sup _{k\in \mathbb {Z} }|t_{k}-k|<{\frac {1}{4}},}$ 

则

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t_{k}){\frac {G(t)}{G'(t_{k})(t-t_{k})}},\qquad \forall f\in B_{\pi }^{2},\qquad (t\in \mathbb {R} ),}$ 

${\displaystyle {\text{ where }}G(t)=(t-t_{0})\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {t}{t_{k}}}\right)\left(1-{\frac {t}{t_{-k}}}\right),}$  ${\displaystyle B_{\sigma }^{2}.}$ 是Bernstein space，${\displaystyle f(t)}$ 均匀收敛于紧致集。

以上称为培力-威纳-莱文森定理，为将WSK定理从均匀取样时间拓展至非均匀取样时间的定里。^[4]