U-统计量

定义 ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{r}):\mathbb {R} ^{r}\to \mathbb {R} }$  为一个函数，其具有对称性，即交换任意 ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$  的位置，${\displaystyle h}$  的值保持不变。对随机变量 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$  ，基于 ${\displaystyle h}$  的U-统计量定义如下：

${\displaystyle U_{n}={\frac {1}{\binom {n}{r}}}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq n}h(X_{i_{1}},\ldots ,X_{i_{r}})}$ 

这里，${\displaystyle h(\cdot )}$  称为U-统计量的核函数（Kernel function），而核函数的维数 ${\displaystyle r}$  称为该U-统计量的度（degree）。^[8]

两样本U-统计量

定义 ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{r};y_{1},\ldots ,y_{s}):\mathbb {R} ^{r+s}\to \mathbb {R} }$  为一个函数，其对 ${\displaystyle X}$  和 ${\displaystyle Y}$  分别具有对称性，即交换任意 ${\displaystyle x_{i_{1}},x_{i_{2}}}$  的位置或交换任意 ${\displaystyle y_{j_{1}},y_{j_{2}}}$  的位置，${\displaystyle h}$  的值保持不变（但不能随意交换 ${\displaystyle x_{i},y_{j}}$  ）。对随机变量 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{m};Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$  ，基于 ${\displaystyle h}$  的两样本U-统计量定义如下：

${\displaystyle U_{m,n}={\frac {1}{{\binom {m}{r}}{\binom {n}{s}}}}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq m}\sum _{1\leq j_{1}<\cdots <j_{s}\leq n}h(X_{1},\ldots ,X_{r};Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$ 

目前在机器学习中，最常见的情形是 ${\displaystyle r=s=1}$ ，例如能量距离和最大平均差异（MMD）。

定理表述

Hoeffding的ANOVA分解定理是现代U-统计量理论的基础。^[9]为表述该定理，定义：${\displaystyle \mu =\mathbb {E} [h(X_{1},\ldots ,X_{r})]}$ 。 对所有 ${\displaystyle 1\leq k\leq r}$  ，定义投影函数：

${\displaystyle a_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\mathbb {E} [h(X_{1},\ldots ,X_{r})|X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{k}=x_{k}]-\mu }$ 

然后定义正交化投影函数：

${\displaystyle g_{1}(x_{1})=a_{1}(x_{1})}$ ，${\displaystyle g_{2}(x_{1},x_{2})=a_{2}(x_{1},x_{2})-g_{1}(x_{1})-g_{2}(x_{2})}$ ，等等，每一个 ${\displaystyle g_{k}}$  都定义为相应的 ${\displaystyle a_{k}}$ 减去之前定义过的所有 ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k-1}}$ ，直至最后一个函数 ${\displaystyle g_{r}}$ ：

${\displaystyle g_{r}(x_{1},\ldots ,x_{r})=a_{r}(x_{1},\ldots ,x_{r})-\sum _{j=1}^{r-1}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{j}\leq r}g_{j}(x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{j}})}$ 

Hoeffding的ANOVA分解定理的内容是：

${\displaystyle U_{n}-\mu ={\binom {n}{r}}^{-1}\sum _{k=1}^{r}{\binom {n-k}{r-k}}\cdot \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}g_{k}(X_{i_{1}},\ldots ,X_{i_{k}})}$ 

分解项的性质

所有的正交化投影函数 ${\displaystyle g_{k}}$  都满足：

${\displaystyle \mathbb {E} [g_{k}(X_{1},\ldots ,X_{k})|X_{1},\ldots ,X_{k-1}]=0}$ 

因此，所有的分解项之间是互不相关的^[9]，并且度为 ${\displaystyle k}$  的分解项之平均的阶为 ${\displaystyle O_{p}\left(n^{-k/2}\right)}$ .

在大多数应用中，一个U-统计量的ANOVA分解中最重要的是前一项或前两项。根据分解项的性质，可以得到如下的两项ANOVA分解式：

${\displaystyle U_{n}-\mu ={\frac {r}{n}}\sum _{i=1}^{n}g_{1}(X_{i})+{\frac {r(r-1)}{n(n-1)}}\sum _{1\leq i<j\leq n}g_{2}(X_{i},X_{j})+O_{p}(n^{-3/2})}$ 

定理应用

• U-统计量的渐近正态性是Hoeffding的ANOVA分解定理的简单推论。具体而言，有如下结论：记 ${\displaystyle \xi _{1}^{2}=\mathrm {Var} (g_{1}(X_{1}))}$  ，则:

${\displaystyle n^{1/2}\left(U_{n}-\mu \right)\ {\stackrel {d}{\to }}\ N\left(0,r^{2}\xi _{1}^{2}\right)}$ 

同时，分解定理也指出了应该如何正确地一阶逼近U-统计量的方差，和对其进行t-标准化。

• 由该定理出发，在不同强度的假设条件下，可以用一项或两项的Edgeworth展开来高精度地逼近U-统计量的分布。^{[8][10][11][12]}

• 度为1的例子：令 ${\displaystyle h(x)=x}$  ，则U-统计量 ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}h(X_{i})={\bar {X}}_{n}}$ 是样本均值。

• 度为2的例子：令 ${\displaystyle h(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}$  ，则U-统计量

${\displaystyle {\frac {1}{\binom {n}{2}}}\sum _{1\leq i<j\leq n}h(X_{i},X_{j})}$ 

称为“平均成对偏差”。

• 另一个度为2的例子：令 ${\displaystyle h(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2}/2}$  ，则U-统计量有如下变形：

${\displaystyle {\frac {1}{\binom {n}{2}}}\sum _{1\leq i<j\leq n}h(X_{i},X_{j})=\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}$ 

这正是人们熟知的样本方差 ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ 。

• 度为3的例子：样本偏度定义中的分子项：

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{3}}$ 

展开后可以写成一个U-统计量。

• 在机器学习中，用核函数方法进行一样本或两样本非参数统计检验时，检验统计量是一个能量距离或最大平均差异（MMD），两者均为U-统计量或表达式包含两样本U-统计量。^[13][14]

• V-统计量