核回归

1964年， Nadaraya和Watson都提出了估算${\displaystyle m}$ 作为局部加权平均值，使用内核作为加权函数的方法。 ^{[1] [2] [3]} Nadaraya–Watson估计量为：

${\displaystyle {\widehat {m}}_{h}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})y_{i}}{\sum _{j=1}^{n}K_{h}(x-x_{j})}}}$ 

${\displaystyle K_{h}}$ 是一个带宽为 ${\displaystyle h}$  的核。 分母是一个总和为1的加权项。

推导

${\displaystyle \operatorname {E} (Y|X=x)=\int yf(y|x)dy=\int y{\frac {f(x,y)}{f(x)}}dy}$ 

将内核密度估计用于具有内核K的联合分布f（x，y）和f（x） ，

${\displaystyle {\hat {f}}(x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}$ , ${\displaystyle {\hat {f}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}$ ,

我们得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)&=\int {\frac {y\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}{\sum _{j=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{j}\right)}}dy,\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)\int y\,K_{h}\left(y-y_{i}\right)dy}{\sum _{j=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{j}\right)}},\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)y_{i}}{\sum _{j=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{j}\right)}},\end{aligned}}}$ 

这便是Nadaraya–Watson估计量。

${\displaystyle {\widehat {m}}_{PC}(x)=h^{-1}\sum _{i=2}^{n}(x_{i}-x_{i-1})K\left({\frac {x-x_{i}}{h}}\right)y_{i}}$ 

此处 ${\displaystyle h}$  为带宽（或平滑参数）。

${\displaystyle {\widehat {m}}_{GM}(x)=h^{-1}\sum _{i=1}^{n}\left[\int _{s_{i-1}}^{s_{i}}K\left({\frac {x-u}{h}}\right)du\right]y_{i}}$ 

此处 ${\displaystyle s_{i}={\frac {x_{i-1}+x_{i}}{2}}}$ 

此示例基于加拿大截面工资数据，该数据由1971年加拿大人口普查公用带中的随机样本组成，这些样本适用于受过普通教育的男性（13年级）。共有205个观测值。

右图显示了使用二阶高斯核以及渐近变化范围的估计回归函数

程序实例

以下R语言命令使用npreg()函数提供最佳平滑效果并创建上面给出的图形。 这些命令可以通过剪切和粘贴在命令提示符下输入。

 install.packages("np")
 library(np) # non parametric library
 data(cps71)
 attach(cps71)

 m <- npreg(logwage~age)

 plot(m,plot.errors.method="asymptotic",
   plot.errors.style="band",
   ylim=c(11,15.2))

 points(age,logwage,cex=.25)

大卫·萨尔斯堡 （David Salsburg）指出 ，用于内核回归的算法是独立开发的，并且已用于模糊系统 ：“通过几乎完全相同的计算机算法，模糊系统和基于内核密度的回归似乎是完全独立于彼此而开发的。 ” ^[4]

• MATLAB 这些页面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）上提供了免费的MATLAB工具箱，其中包括内核回归，内核密度估计，危险函数的内核估计以及许多其他工具的实现（此工具箱是本书的一部分^[5] ）。
• Stata npregress ， kernreg2 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R ： np package的函数npreg可以执行内核回归。 ^{[6] [7]}
• Python ：所述KernelReg在混合数据类型类statsmodels.nonparametric子包（包括其他内核密度相关的类），封装kernel_regression （页面存档备份，存于互联网档案馆）作为的延伸sklearn （低效存储器明智的，有用的，只有对于小数据集）
• GNU Octave数学程序包：

• 内核平滑
• 局部回归

• Henderson, Daniel J.; Parmeter, Christopher F. Applied Nonparametric Econometrics. Cambridge University Press. 2015 [2019-10-14]. ISBN 978-1-107-01025-3. （原始内容存档于2020-08-06）. 
• Li, Qi; Racine, Jeffrey S. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice. Princeton University Press. 2007. ISBN 0-691-12161-3. 
• Pagan, A.; Ullah, A. Nonparametric Econometrics. Cambridge University Press. 1999 [2019-10-14]. ISBN 0-521-35564-8. （原始内容存档于2016-06-24）. 
• Simonoff, Jeffrey S. Smoothing Methods in Statistics. Springer. 1996. ISBN 0-387-94716-7. 

• 可缩放比例的内核回归 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （使用Matlab软件）。
• 使用电子表格 （使用Microsoft Excel ） 进行内核回归的教程 。
• 在线内核回归演示 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Requires。 NET 3.0或更高版本。
• 具有自动带宽选择功能的内核回归 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （使用Python）