刘益 (数学家)

截积术

从平面几何图形截取一段已知面积，求截取面积有关的线段长度。 “圆田一段直径十三步，今从边截积三十二步；问：所截弦矢各几步？答数弦十二步矢四步”

刘益得到下列方程

     实

  方法

    上廉

   下廉

  负隅

即四次方程：${\displaystyle -5x^{4}+52x^{3}+128x=4096}$ 

演段术

刘益《议古根源》一书今已失传，但在南宋数学家杨辉的著作中还保留《议古根源》演段术的片段^[3]。 杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下：中山刘先生序谓算之术入则诸门出则直田；《议古根源》故立演段百问，盖欲演算之片断也，知片断则能穷根源。

第六问：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？

答曰十二步。

演段曰：和自乘有四段直田积一段差方积，所以用四积减和方余得差方一段，却取方面。

长阔差的平方 = ${\displaystyle (60)^{2}-4*864=144}$ 

所以 长阔差 = 12

带从开方正负损益法

刘益将贾宪的改进成为解含任意系数的高次方程的方法 例：解下列四次方程

${\displaystyle -5x^{4}+52x^{3}+128x=4096}$ 

以4为商(矢)

  商

     实

  方法

    上廉

   下廉

  负隅

程序： 1)上商乘负隅并入下廉得三十二

  商

     实

  方法

    上廉

   下廉

  负隅

2) 以商四乘下廉三十二的一百二十八入上廉共二百五十六

  商

     实

  方法

    上廉

   下廉

  负隅

3) 又已上商乘上廉得一千二十四为方法

  商

     实

     方法

    上廉

   下廉

  负隅

4) 以上商四乘一千二十四得四千九十六与实相消为零

  商

  实

     方法

    上廉

   下廉

  负隅

得矢=4

数学史家钱宝琮说：“宋时已能建立含负系数的四次方程，并能数值求解^[4]