庞加莱-霍普夫定理数学上,庞加莱-霍普夫(Poincaré-Hopf)定理(也称为庞加莱-霍普夫指标定理,庞加莱-霍普夫指标公式,或霍普夫指标定理)是微分拓扑的重要定理。 定理:令 M 为紧微分流形。令 v 为 M 上有孤立零点的向量场。若 M 有边界,则我们要求在边界上 v 指向边界的外法向。然后,我们有如下公式 ∑ i i n d e x v ( x i ) = χ ( M ) {\displaystyle \sum _{i}\mathrm {index} _{v}(x_{i})=\chi (M)\,} 其中,求和取遍 v 的孤立零点而 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} 是 M 的欧拉示性数。 定理由庞加莱在二维的情况证明,而后由霍普夫推广到高维。