真因子和数列

选择一个正整数${\displaystyle k}$作为一个数列的开首，数列的之后的项都是上一项的真因子之和（因数函数${\displaystyle \sigma _{1}}$），即：

• ${\displaystyle s_{0}=k}$
• ${\displaystyle s_{n}=\sigma _{1}(s_{n-1})-s_{n-1}}$

这样组成的数列称为真因子和数列（aliquot sequence）。

例如取10为首项，之后是${\displaystyle 1+2+5=8,1+2+4=7,1=1}$（任何质数的唯一真因子都是1，1没有真因子）。

真因子和数列有几种可能的发展方式：

• 在1结束：好像上面的10、任何质数、18（${\displaystyle 18,1+2+3+6+9=21,1+3+7=11,1}$） ……（OEIS:A080907）
• 循环不断：对于完全数、相亲数、相亲数链的成员，真因子和数列是循环的。如果有些数本身并不属于上述提到那类数，却因为数项中有些项的真因子之和属于那类数，而有循环的真因子和数列，它们称为aspiring numbers（OEIS:A063769）。譬如：
  1. 完美数${\displaystyle 28=1+2+4+7+14}$：28, 28, 28...
  2. 四环相亲数链的成员1264460：1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ....
  3. aspiring number 95：95, 25, 6, 6, 6,
• 不循环地一直延续下去：19世纪数学家欧仁·查理·卡塔兰猜想任何真因子和数列都是按上面两种方式延续下去，但人们不但未能证明或推翻这个猜想，而且不能确定一些整数的真因子和数列。在1至1000之间，便有五个这样的数，它们称为Lehmer Five —— 276, 552, 564, 660, 966。截止2007年7月，1至10⁵间有909个这样的数，1至10⁶间有9466个。