可及关系

为了真正理解什么是可及关系，需要一些对模态逻辑基础的背景解说。出于简化的目的，我们将限制于命题模态逻辑。命题模态逻辑只是带有两个关键一元算子的传统句子逻辑: ${\displaystyle \Box }$  意味着 "...是必然的" 和 ${\displaystyle \Diamond }$  表示 "...是可能的"。这些算子可以附加到一个单独的句子上来形成一个新的复合句子。对于任何(简单的或复合的)句子 A，我们可以由此形成复合句子 ${\displaystyle \Box A}$  和 ${\displaystyle \Diamond A}$ 。

现在，使用 p、q 等来表示我们语言的语句，x、y 等来表示对象，而 P、Q 等来表示谓词，我们可以写出几乎所有模态逻辑的六个基本公理:

• ${\displaystyle \Box p\leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p}$ 
  
• ${\displaystyle \Diamond p\leftrightarrow \lnot \Box \lnot p}$ 
  
• ${\displaystyle p\rightarrow \Diamond p}$ 
  
• ${\displaystyle \Box (p\land q)\leftrightarrow (\Box p\land \Box q)}$ 
  
• ${\displaystyle (\Box p\lor \Box q)\rightarrow \Box (p\lor q)}$ 
  
• ${\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}$ 
  

多数其他公理关注有争议而没有达成广泛一致的模态算子。下面是其中最经常使用和讨论的:

(T) ${\displaystyle \Box p\rightarrow p}$ 

(4) ${\displaystyle \Box p\rightarrow \Box \Box p}$ 

(5) ${\displaystyle \Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p}$ 

(B) ${\displaystyle p\rightarrow \Box \Diamond p}$ 

这里的 "(T)"、"(4)"、"(E)" 和 "(B)" 表示这些公理(或原理)的传统名字。

依据模态逻辑的传统可能世界语义，由模态算子形成的复合句子要用量化于可能世界上的方式来解释，诉诸于可及(accessibility)关系。可及关系现在可以定义为(无法解释的)关系 ${\displaystyle R(w_{1},w_{2})\,}$ ，它成立于可能世界 ${\displaystyle w_{1}\,}$  和 ${\displaystyle w_{2}\,}$  之间，只在可以从 ${\displaystyle w_{1}\,}$  到达 ${\displaystyle w_{2}\,}$  的情况下。

设 w* 指示真实世界，我们还要服从可能世界语义的两个基础变换模式:

• (TS)必然的 p 意味着 p 在 R(w*,w) 的所有可能世界 w 中是真的。可能的 p 意味着 p 在 R(w*,w) 的某些可能世界 w 中是真的。

要在技术/形式层面看到可及关系的能力和用途，注意下列联系成立:

• 公理 (T) 成立，如果可及关系 R 是自反的。如果每个世界可以访问到自身，则 A 在其中为真的任何世界都是从它可到达 A 在其中为真的一个可及世界的一个世界。

• 公理 (4) 成立，如果 R 是传递的。${\displaystyle \Box A}$  在一个世界 w 中为真，只在从 w 可到达的所有世界 ${\displaystyle w'}$  中 A 都为真的情况下。所以，${\displaystyle \Box \Box A}$  在一个世界 w 中为真，只在从 w 可到达的所有世界 ${\displaystyle w'}$  可到达的所有世界 ${\displaystyle w''}$  中 A 都是真的情况下。

• 公理(5) 成立，如果 R 是欧几里得的。${\displaystyle \Diamond A}$  在一个世界 w 为真，当且仅当 A 在从 w 可到达的某个世界为真。${\displaystyle \Box \Diamond A}$  在一个世界 w 为真，当且仅当对于从 w 可以达到的所有世界 ${\displaystyle w'}$ ，有从 ${\displaystyle w'}$  可到达的一个世界 ${\displaystyle w''}$ ，A 在其中为真。如果 A 在从 w 可到达的一个世界 ${\displaystyle w''}$  中为真，那么根据欧几里得性质从 w 可到达的所有其他世界都能达到这个世界 ${\displaystyle w''}$ ，所以对于从 w 可到达的所有世界 ${\displaystyle w'}$ ，都有 A 在其中为真的一个可到达的世界 ${\displaystyle w''}$ ，这保证了这个公理为真理。

• 公理 (B) 成立，如果 R 是对称的。如果 A 在一个世界 w 中为真，则在从 w 可到达的所有世界 ${\displaystyle w'}$  中，有从 ${\displaystyle w'}$  可到达的一个世界，A 在中为真。对称性提供从 ${\displaystyle w'}$  可到达 w，这保证了这个公理为真理。

按大卫·刘易斯所说，结果是"旧争论让位于新争论。不再提问莫名其妙的问题，是否现实的东西必然是可能的，我们可以简单的提问: 关系 R 是对称的吗? "(刘易斯，1996)。

• 模态逻辑
• 关系语义
• 可能世界

• Fitelson, Brandon. Notes on "Accessibility" and Modality. 2003.
• Brown, Curtis. Propositional Modal Logic: A Few First Steps. 2002.
• Kripke, Saul. Naming and Necessity. Oxford. 1980.
• Lewis, D.K.. Counterpart Theory and Quantified Modal Logic. Journal of Philosophy. 1968
• List of Logic Systems List of most of the more popular modal logics.