轮廓 (聚类)

假设某一数据集使用如k-means等聚类方法分成了${\displaystyle k}$  个簇：

对于某一属于簇${\displaystyle C_{i}}$ 样本${\displaystyle i}$ ，记为 ${\displaystyle i\in C_{i}}$  ，设${\displaystyle d(i,j)}$ 为样本${\displaystyle i}$ 与${\displaystyle j}$ 之间的距离，求算样本${\displaystyle i}$ 与其他样本之间的平均距离的公式如下（由于不计算样本与自身的距离${\displaystyle d(i,i)}$ ，故计算平均值时样本总数为${\displaystyle |C_{i}|-1}$ ）：

${\displaystyle a(i)={\frac {1}{|C_{i}|-1}}\sum _{j\in C_{i},i\neq j}d(i,j)}$ 

上述公式结果记为${\displaystyle a(i)}$ ，它反映了样本${\displaystyle i}$ 当前聚类结果的优劣（值越小，聚类结果越好）。

然后，我们定义样本与某簇${\displaystyle C_{k}}$ 的平均相异性为与样本${\displaystyle i}$ 距离簇的平均值${\displaystyle i}$ 到簇${\displaystyle C_{k}}$ 内所有样本的距离均值 （${\displaystyle C_{k}\neq C_{i}}$ ），则对于样本 ${\displaystyle i\in C_{i}}$ ，有${\displaystyle i}$ 最小平均距离${\displaystyle b(i)}$ 对应的簇${\displaystyle C_{k}}$ ，我们称其为${\displaystyle i}$ 的“相邻簇”：

${\displaystyle b(i)=\min _{k\neq i}{\frac {1}{|C_{k}|}}\sum _{j\in C_{k}}d(i,j)}$ 

结合上述内容，我们定义${\displaystyle i}$ 的轮廓值为：

${\displaystyle s(i)={\frac {b(i)-a(i)}{\max\{a(i),b(i)\}}}}$ 

等效为：

${\displaystyle s(i)={\begin{cases}1-a(i)/b(i),&{\mbox{if }}a(i)<b(i)\\0,&{\mbox{if }}a(i)=b(i)\\b(i)/a(i)-1,&{\mbox{if }}a(i)>b(i)\\\end{cases}}}$ 

对于上述定义，显然${\displaystyle -1\leq s(i)\leq 1.}$ 

为了防止簇数量暴增，对于仅有一个样本的簇（${\displaystyle |C_{i}|=1}$ ），定义其${\displaystyle s(i)=0}$ 。 ${\displaystyle a(i)}$ 反映了${\displaystyle i}$ 与其所属簇的距离，较小的${\displaystyle a(i)}$ 值说明其与所属簇的关系紧密；而较大的${\displaystyle b(i)}$ 反映了${\displaystyle i}$ 与其他簇关系疏远；故为提高${\displaystyle s(i)}$ （或称为优化聚类结果），我们需要使${\displaystyle a(i)\ll b(i)}$ ^[2]。

考夫曼（Kaufman）等人定义了轮廓系数（silhouette coefficient ）的概念——在某个数据集的有限种聚类方法中，平均${\displaystyle s(i)}$ 的最大值^[3]：

${\displaystyle SC=\max _{k}{\tilde {s}}\left(k\right)}$ 

上式中${\displaystyle {\tilde {s}}\left(k\right)}$ 代表被分为${\displaystyle k}$ 个簇后该数据集的平均${\displaystyle s(i)}$  。

轮廓系数一般不能用于横向评价多种聚类方法。凸簇（如经由DBSCAN方法得出的簇）的轮廓系数一般高于其他类型的簇。

• Davies–Bouldin指数
• k-medoids
• 如何确定数据集中有多少簇