一般化的士数

未解决的数学问题：是否存在一正整数能够用最少两种方法表示成两正整数的五次方之和，即 a5 + b5 = c5 + d5?

在数学中,一般化的士数Taxicab(k, j, n) 定义为一最小的数，能够用n种方法表示成j个自然数的k次方之和。 若 k = 3 且 j = 2, 是为的士数。

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (1,2,2)=4=1+3=2+2.}$

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (2,2,2)=50=1^{2}+7^{2}=5^{2}+5^{2}.}$

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (2,2,3)=325=1^{2}+18^{2}=6^{2}+17^{2}=10^{2}+15^{2}.}$

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (3,2,2)=1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}}$

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (3,3,2)=251=1^{3}+5^{3}+5^{3}=2^{3}+3^{3}+6^{3}}$

欧拉证明了

${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (4,2,2)=635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}.}$

然而, Taxicab(5, 2, n)在n ≥ 2时尚未被找到; 也就是说，还没找到任何正整数可以用多于一种方法表示成2个正整数的5次方之和。^[1]