古尔丁定理

• 有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积${\displaystyle A}$ ，等于曲线的长度${\displaystyle s}$ 乘以曲线的几何中心经过的距离${\displaystyle d_{1}}$ ：${\displaystyle A=sd_{1}}$ 。

1. 例：设环面圆管半径为${\displaystyle r}$ ，圆管中心到环面中心距离为${\displaystyle R}$ ，把环面看成上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为${\displaystyle (2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}rR}$ 

若有平面连续曲线${\displaystyle y=f(x)}$ ，求${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ 时，曲线以${\displaystyle x}$ 轴旋转所得的曲面表面积。可考虑一小段曲线，其几何中心便是${\displaystyle y}$ ，曲线长度为${\displaystyle {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}}$ ，因此这个曲面的表面积便是：

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\;\mathrm {d} x}$ 。

• 由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积${\displaystyle V}$ ，等于平面形状面积${\displaystyle S}$ 乘以平面形状的几何中心经过的距离${\displaystyle d_{1}}$ 的积：${\displaystyle V=Sd_{1}}$ 。

再考虑一般平面曲线下的面积的情况，可得旋转体体积${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\;\mathrm {d} x}$ 。